Теорема о среднем значении

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: 1) непре- рывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . Тогда существует точка такая, что .

Доказательство. В силу непрерывности функции на замкнутом промежутке существуют точки такие, что , и, поэтому .

Для этих точек имеется 2 возможности: 1) они совпадают с концами промежутка; 2) хотя бы одна из них является внутренней точкой.

В первом случае из следует, что , то есть . Поэтому, .

Во втором случае, точка или , попавшая внутрь промежутка, является точкой экстремума функции и так как дифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма .

Обе возможности приводят к тому, что внутри существует точка c, в которой .

Замечание 1. На геометрическом языке теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ox. При этом требования непрерывности функции на и дифференцируемости на существенны и не могут быть ослаблены.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула:

. (1)

Доказательство. Введем вспомогательную функцию , определив её на равенством:

Эта функция, так же как и , удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля. Подберем l так, чтобы (третье условие теоремы Ролля):

Теперь к функции можно применить теорему Ролля: и : , т.е.

Теорема доказана.

Замечание 2. Теорему Лагранжа называют основной теоремой дифференциального исчисления, а формулу (1), записанную в виде

, (2)

называют формулой конечных приращений. Положим , а точку c, лежащую между x и запишем в виде , где . Тогда:

Эта формула даёт точное значение для приращения функции при любых конечных приращениях аргумента. Этим она отличается от формулы бесконечно малых приращений (§4, тема “Производная”)

из которой получается лишь приближенное равенство

справедливое для достаточно малых .

Замечание 3. Пусть . Тогда правая часть формулы (1) есть угловой коэффициент секущей AB. Геометрически теорема Лагранжа означает следующее: на графике функции между точками А и В найдется точка , касательная в которой параллельная секущей AB.