Определение и смысл производной

Рассмотрим функцию , определенную в точке и в некоторой ее окрестности. Придадим аргументу x приращение , не выводящее аргумент за пределы окрестности. Функция получит приращение .

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует) обозначается и называется производной функции по переменной в x точке x ₀.

Итак, по определению

.

Из определения следует, что производная – это число. Однако чаще всего оказывается, что это число можно вычислить не только в одной точке x ₀, а во всех точках некоторого интервала. Тем самым на этом интервале определяется некоторая новая функция, которая тоже называется производной функции и обозначается: . Кроме этих обозначений используются и другие:

– производная как функция (читается “дэ игрек по дэ икс”),

– производная в фиксированной точке x ₀.

Сравнивая результаты, полученные в §1, с определением производной, можно придать производной смысл:

1) если – закон движения, то ;

2) – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) касательной к графику функции в точке с абсциссой x ₀.

Используя 2) легко написать уравнение касательной:

и нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной:

.

Пример. Вычислить (по определению) производную функции .

Замечание 1. Производную удобно понимать как скорость изменения функции относительно аргумента x.

Замечание 2. Отношение приращения функции к приращению аргумента называют разностным отношением функции.