Схема исследования функции на возрастание и убывание

1. Найти область определения

2. Найти производную функции

3. Найти критические точки (приравнять производную к 0, найти точки, в которых

производная равна нулю или не существует)

4. Разбить область определения критическими точками на промежутки

5. Определить знак производной на каждом из промежутков

6. Сделать выводы о возрастании и убывании функции на этих промежутках.

Пример

Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции .

Найдём область определения

Найдём производную

Отсюда х=0,х=1, х=-1

Разобьём область определения критическими точками на промежутки и определим знак производной на каждом из промежутков.

 

Ответ: (-∞, -1) (0,1)

(-1,0) (1,+∞)

Точка х₀ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется .

Точка х₀ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется .

х₀ х х₀ х

максимум минимум

Если в точке х₀ из области определения производная функции меняет знак с «+» на «-», то в этой точке функция достигает локального максимума.

Если в точке х₀ из области определения производная функции меняет знак с

«-» на «+», то в этой точке функция достигает локального минимума.

Таким образом функция может достигать максимума и минимума лишь в критических точках.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Схема исследования на экстремумы функции такая же как и схема исследования на возрастание и убывание, только необходимо сделать выводы об экстремумах.