Связь между потенциалом и напряженностью поля

Рассмотрим заряд q в однородном поле Е. Пусть он переходит из точки 1 в точку 2 вдоль отрезка ∆S.

При этом производится работа

∆А=E_S·∆S, (1)

которая в свою очередь равна U₁₂. Приращение потенциала U=U₂₁ =-U₁₂=-∆φ. Отсюда имеем

E_S= ­∆φ/∆S, (2)

или

E_S= ­dφ/dS. (3)

Т.е. проекция напряженности поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в данном направлении.

Как не трудно увидеть из рисунка, быстрейшим образом потенциал меняется в направлении Е. Направление наибольшего изменения любой скалярной функции φ определяется вектором, который называют градиентом grad φ. Величина градиента равна производной функции по направлению ее быстрейшего увеличения.

Таким образом

= -grad φ. (4)

Т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Знак минус указывает на то, что напряженность направлена в сторону уменьшения потенциала.

Геометрическое место точек, в которых потенциал имеет одно и то же значение называется эквипотенциальной поверхностью. Вектор напряженности поля всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в данной точке.

Найдем потенциал поля точечного заряда.

Учитывая, что потенциал не зависит от формы пути, предположим, что заряд движется вдоль r в бесконечность. Тогда, интегрируя Е по r, находим

φ = = q/4πe₀· = 1/4πe₀·q/r. (5)

Видно, что потенциал убывает пропорционально расстоянию. Эквипотенциальными поверхностями являются сферы.

Если поле создается системой зарядов, то в силу принципа суперпозиции

φ = . (6)