П. 4.3. Возрастание и убывание функции

Определение. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений и из области определения: , и убывающей, если для любых значений и из области определения: .

Теорема (достаточное условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда, если для любой точки интервала , то функция – возрастающая на интервале и если , то – убывающая на интервале функция.

Геометрический смысл Если в некотором промежутке касательная к графику функции y=f(x) образует с осью Ox острый угол α (tg α˃0), то функция строго возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику функции y=f(x) образует с осью Ox тупой угол α (tg α˂0), то функция строго убывает в этом промежутке (Рис. 4).

Рис. 4