Метод Фурье для однородной задачи

Сначала рассмотрим простейшую задачу с однородными краевыми условиями первого типа.

Задача. На концах стержня конечной длины поддерживается нулевая температура. Источники тепла в стержне отсутствуют (однородное уравнение). Начальная температура в каждой точке стержня задана.

Решение. Функция – температура стержня – есть решение задачи:

(1)

Следуя методу Фурье, ищем сначала нетривиальные решения уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям, в виде:

Знакомая схема приводит к соотношению:

.

Для задачи известны собственные значения и собственные функции

Каждому собственному значению соответствует функция удовлетворяющая уравнению первого порядка:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Значит, частные решения однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющие однородным граничным условиям, представляются в виде:

Здесь введена новая постоянная . Осталось просуммировать решения

(2)

В заключительной части метода Фурье определяются постоянные так, чтобы функция (2) удовлетворяла заданному начальному условию

(3)

Формула (3) показывает, что суть коэффициенты разложения начальной функции в ряд Фурье по синусам на , то есть

●