Вывод формулы

Электростатическая теорема Гаусса устанавливает математическую связь между потом вектора напряженности через замкнутую поверхность и зарядами, находящимися в объеме, ограниченном данной поверхностью.

Предположим, что имеется некоторый объем V, ограниченный поверхностью S и точечный заряд q внутри этого объема.

Рассмотрим поток N напряженности сквозь эту поверхность.

. (5.1)

Так как q точечный заряд. То напряженность поля равна

, (5.2)

а значит

.

Учтем соотношение ^

где - проекция площади элемента на плоскость, перпендикулярную радиус-вектору , т.е. ^ .

Рассмотрим сферу, на которой выделим площадку и введем понятие телесного угла ,который определим так:

. (5.3)

Для бесконечно малых величин справедливо соотношение: , и тогда из (5.1) с учетом (5.2) и (5.3) получаем:

(5.4)

Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри объема, равен (телесный угол измеряется в стерадианах: 1 стеррад = ), а поток

(5.5)

Аналогичным образом можно посчитать поток сквозь замкнутую поверхность, если точечный заряд находится вне объема. В этом случае, как можно показать

. (5.6)

Объединяя (5.5) и (5.6) можно окончательно написать:

(5.7)

Утверждение, содержащееся в (5.7) и есть электростатическая теорема Гаусса для точечного заряда. Ее легко обобщить на случай, когда внутри объема находится или система точечных зарядов или непрерывно распределенный по объему заряд, используя принцип суперпозиции:

(5.8)

или

(5.9)

Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона, а значит теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и предположим, что в объеме V заряд распределен непрерывно с объемной плотностью , т.е. . Тогда , откуда легко найти, что

(5.10)

Ввиду произвольности объема, получаем:

(5.11)

Это и есть дифференциальная формулировка закона Кулона или уравнение Максвелла (1831-1879) для .