Пример решения задачи. Ступенчатый вал круглого поперечного сечения нагружен системой внешних крутящих моментов

Задача

Ступенчатый вал круглого поперечного сечения нагружен системой внешних крутящих моментов. Определить из условия прочности величину допускаемого диаметра сечения , предварительно построив эпюры крутящего момента и касательного напряжения . Проверить выполнение условия жесткости по абсолютным углам закручивания. Принять: =100 МПа, G= МПа, .

Решение

1. Построим эпюру крутящих моментов, используя метод сечений.

 

2. Определим касательные напряжения на каждом участке вала в долях диаметра d:

· на участке (0-1) (без распределенного момента) касательное напряжение есть величина постоянная, равная

;

· на участке (1-2) – аналогично:

;

· на участке (2-3) (с распределенным моментом) напряжение изменяется по линейному закону. Найдем на границах участка:

;

.

3. По полученным значениям построим эпюру напряжений в долях , соблюдая характер зависимости на участках соответственно эпюре крутящих моментов.

По эпюре напряжений видно, что опасным является участок (0-1): .

4. Подставим полученное значение максимального напряжения в условие прочности и найдем минимально допустимый параметр d:

.

5. Рассчитаем абсолютные углы закручивания участков стержня, приняв начало координат в жесткой заделке (сечение «0»). На участках с постоянным значением крутящего момента по длине функция углов закручивания изменяется по линейному закону и здесь для определения абсолютного угла закручивания можно использовать формулу: , т.е. на участках (0-1) и (1-2)

;

,

на участке (2-3) крутящий момент изменяется по линейному закону, а функция по параболическому, и абсолютный угол закручивания определяется по интегральной формуле: , т.е.

.

Нулевое значение здесь означает, что парабола на этом участке симметричная с одинаковыми значениями углов закручивания в граничных сечениях, а в среднем сечении участка (где ) парабола имеет экстремум. Чтобы определить экстремальное значение угла закручивания, необходимо выделить на участке (2-3) подучасток, границами которого являются ближайшая к жесткой заделке граница участка (2-3), т.е. сечение (2), и экстремальное сечение, обозначим его . Таким образом, на выделенном подучастке , длиной 0,25м, абсолютный угол закручивания равен:

6. Определим углы закручивания характерных сечений (1), (2), (3) и экстремального сечения относительно неподвижного сечения (0) и построим эпюру углов закручивания на базе, параллельной продольной оси стержня:

,

 

По эпюре видно, что максимальный по абсолютной величине угол закручивания возникает в сечении (1): .

7. Проверим выполнение условия жесткости: .

< , т.е. условие жесткости выполняется.

Задача решена.