Блок №3

«Динамика конструкций и сооружений»

Цель задачи – нахождение собственных частот и форм колебаний при помощи решения проблемы собственных значений.

Рис.3.1. Система с двумя степенями свободы

Матрица жесткости системы на рис.3.1:

(3)

Используя выражение (3), составим нижнюю треугольную матрицу: (4)

 

Транспонируем ее и найдем произведение этих матриц: (5)

 

Образуем систему уравнений, приравнивая элементы матриц [P] элементам МЖ [C]:

(6)

Учтем свойство симметрии матрицы [H] для этого подставим это равенство в систему уравнений:

(7)

Конвертируем этот список в матрицу и удаляем лишнее уравнение:

(8)

Конвертируем систему снова в список и сформируем список неизвестных:

(9)

Решаем систему относительно неизвестных. С помощью функции allvalues находим эти решения в явном виде. Выделяем из этого списка списков список с положительными элементами на главной диагонали:

(10)

Переформируем этот список в матрицу: (11)

 

Транспонируем [L], обратим [L] и . Сформируем матрицу масс, пренебрегая массами пружин:

(12)

Первое умножение в формировании матрицы [H]:

(13)

Второе умножение в формировании матрицы [H]:

(14)

Найдем определитель матрицы [H]. Он равен сумме значений этой матрицы:

(15)

Составим единичную матрицу:

(16)

Найдем определитель однородной системы. Он должен быть равен 0, т.к. другая возможность равенства нулю левой части - равенство нулю собственного вектора тривиальна, т.е. ничего не дает:

(17)

Решив Х.У., найдем собственные числа матрицы [H]:

(18)

Выделяем первое собственное значение: (19)

Выделяем второе собственное значение: (20)

 

Произведение собственных чисел матрицы Р равно ее определителю:

(21)

Сумма собственных чисел матрицы Р равна сумме ее диагональных членов:

(22)

Находим первую собственную частоту: (23)

 

Находим вторую собственную частоту: (24)

Теперь найдем их произведение, оно обратно к произведению собственных чисел:

(25)

Сформируем вектор собственных чисел матрицы [H]: (26)

 

 

Сформируем вектор собственных частот: (27)

Найдём собственные формы системы с равными параметрами. Вектор х найдём, подставив:

(28)

В первое уравнение, поэтому в квадратных скобках стоит [1]

 

(29)

В этом первом уравнении произвольно положим

Тогда 1-е уравнение примет вид: (30)

Решив его, найдем вторую компоненту 1-го собственного вектора

Сформируем 1-й собственный вектор, соответствующий первому собственному значению:

(31)

Найдем 1-ю собственную форму колебаний:

(32)

Так как она известна с точностью до произвольного множителя, то:

(33)

Мы получили ту же форму, что и в теории колебаний. Теперь, чтобы найти второй вектор, соответствующий второму собственному числу, сформируем вначале этот вектор. Пока только обозначения

(34)

Также произвольным положим .

Так как работаем со вторым собственным числом, то надо взять второе уравнение и положили и на

(35)

Найдем

Сформируем второй собственный вектор: (36)

Найдем вторую собственную форму колебаний:

 

(37)

Так как она известна с точностью до произвольного множителя, то она будет равна:

(38)