Динамика м. т. и поступательного движения т. т

Динамика – это раздел механики, изучающий механическое движение, возникающее по каким-либо причинам, под действием других тел.

Если кинематика отвечает на вопрос “как” осуществляется движение, то динамика ставит вопрос “почему” это происходит.

В основе классической динамики материальной точки лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие со стороны других тел не выведет её из этого состояния (принцип инерции Галилея).

Содержание первого закона Ньютона составляет утверждение о существовании инерциальных систем отсчета (ИСО). Смысл первого закона Ньютона состоит в том, что если на тело не действуют внешние силы, то существует система отсчета, в которой оно покоится. Но если в одной системе тело покоится, то существует множество других систем отсчета, в которых тело движется с постоянной скоростью. Эти системы отсчета называются инерциальными.

Если экспериментально удалось установить, что какая-то СО является инерциальной, то любая другая СО, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно неё, также является инерциальной. Таким образом, существует бесчисленное множество ИСО, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно.

Если в основу классификации СО положить выполнимость первого закона Ньютона, то все СО можно разделить на две группы: ИСО и НИСО.

Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры (деформируется). Сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

В СИ единицей измерения силы является ньютон (Н).

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообщает материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было. Если на тело действует несколько сил, то их можно заменить одной – равнодействующей (или результирующей) равной векторной сумме всех сил действующих на тело .

Масса – это скалярная физическая величина, количественно характеризующая инертные и гравитационные свойства материи.

В СИ масса измеряется в килограммах

Инертность – это стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инертная масса характеризует способность тела сопротивляться изменению своего состояния (покоя или движения).

Гравитационная масса характеризует способность тела создавать гравитационное поле и взаимодействовать с гравитационным полем.

принцип эквивалентности гравитационной и инертной масс. Слабый: каждая масса является одновременно и инертной и гравитационной. Сильный: никакой эксперимент не дает возможности отличить инертную массу от гравитационной (с точностью до 10^-12 их значений).

Векторная физическая величина равная произведению массы материальной точки на скорость её движения называется импульсом материальной точки .

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на материальную точку .

Второй закон Ньютона может быть записан в другом виде: - изменение импульса материальной точки равно импульсу силы.

Произведение силы на время её действия - - называется импульсом силы.

В том случае, если масса остается неизменной (), то . То есть ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально действующей на неё силе и обратно пропорционально её массе.

Термин взаимодействие означает, что одно тело действует на другое, и второе в свою очередь действует на первое. Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил взаимодействий.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки: . Здесь – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; – сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам, всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Задача динамики поступательного движения твердого тела сводится к формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела. В этом случае он называется основным законом динамики поступательного движения.

Твердое тело – это система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется в процессе движения. Поступательное движение – это движение, при котором все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени одинаковые перемещения. Прежде чем сформулировать второй закон Ньютона для поступательного движения твердого тела, необходимо ввести несколько понятий.

1. В любой системе материальных точек имеется особая точка С, которая называется центром масс. Центр масс системы материальных точек – это точка, характеризующая распределение масс. Положение центра масс в пространстве задается радиусом-вектором , определяемым следующим образом . Здесь - масса и радиус-вектор i- ой точки системы, - общая масса всей системы, - число материальных точек системы. Декартовы координаты центра масс (проекции радиус-вектора на соответствующие координатные оси) равны: .

2. Импульсом системы материальных точек называется векторная физическая величина равная сумме импульсов материальных точек системы: . Здесь - скорость i -ой материальной точки, - масса i- ой материальной точки, - импульс i- ой материальной точки.

Скорость движения центра масс: . Таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению ее массы на скорость её центра масс: .

3. Все силы, действующие на материальные точки системы, разделяют на внутренние и внешние. Внутренние силы обусловлены взаимодействием материальных точек, входящих в систему. Обозначим - силу (внутреннюю), действующую на i‑ю материальную точку системы со стороны k-й. Внешние силы обусловлены взаимодействием м.т. данной системы с внешними телами (т.е. не входящими в данную систему). Обозначим - равнодействующие внешних сил, действующих на 1-ю, 2-ю, … n-ю материальные точки системы.

Согласно второму закону Ньютона для всех материальных точек системы можно записать систему уравнений движения.

Сложим уравнения системы и сгруппируем попарно силы и : . Согласно третьему закону Ньютона, каждой силе соответствует сила , причем . Поэтому сумма всех внутренних сил будет равна нулю. Следовательно, или . Скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на эту систему. Отсюда следует:

А) закон движения центра масс: центр масс системы материальных точек (в частности твердого тела) движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, под действием всех внешних сил, приложенных к системе.

Б) уравнение называется основным законом динамики поступательного движения твердого тела, поскольку при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково и для описания этого движения достаточно рассмотреть движение только одной точки – центра масс.

Механическую систему называют замкнутой или изолированной, если на нее не действуют внешние силы или действие сил компенсируется, т.е. векторная сумма всех внешних сил, действующих на эту систему, равна нулю. В этом случае и, следовательно . Это закон сохранения импульса. Для решения задач он записывается в виде: . Здесь - скорости материальных точек до взаимодействия, - скорости материальных точек после взаимодействия.

В природе существует четыре вида фундаментальных взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое. Часть сил – результат проявления этих взаимодействий (фундаментальные силы). Большинство сил – это результат совместного проявления нескольких видов взаимодействий (нефундаментальные силы).

1. Гравитация или тяготение. Сила гравитационного взаимодействия – одна из фундаментальных сил.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения прямо пропорциональные произведению масс и этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния r между ними: , здесь – гравитационная постоянная. Силы тяготения направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки.

Закон всемирного тяготения справедлив для материальных точек и тел сферической формы (тогда - это расстояние между центрами тел сферической формы).

Проявлением силы гравитационного взаимодействия является сила тяжести, действующая на тело массой в поле тяготения любой планеты массой : . Здесь R - радиус планеты, h - высота над её поверхностью. Обычно силу тяжести выражают через ускорение свободного падения и тогда .

На поверхности любой планеты . В частности, на поверхности Земли .

2. Упругая сила возникает тогда, когда возникает деформация. Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся чаще всего изменением формы тела. Упругой называется деформация, которая исчезает после прекращения действия вызывающей ее силы. В случае упругой деформации, согласно закону Гука: , где - величина абсолютной деформации.

3. Вес тела – это сила, с которой тело под влиянием тяготения действует на опору или подвес. Вес тела зависит от величины ускорения, с которым движется опора или подвес. Вес по величине равен либо силе реакции опоры (если тело находится на опоре), либо силе упругости подвеса (если тело подвешено).

4. Силы трения – это касательные силы между соприкасающимися телами. Сила трения скольжения (сухое трение) возникает при скольжении данного тела по поверхности другого тела: , где - коэффициент трения скольжения, - сила нормальной реакции опоры.

Сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости (вязкое трение): , где - коэффициент, характеризующий данную среду, - скорость тела относительно среды. При больших скоростях эта сила оказывается пропорциональной квадрату скорости .