Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной на [ a,b ], если она непрерывна в каждой точке интервала (a,b), а также является непрерывной справа в точке a и непрерывной слева в точке b.

Теорема 1 (Вейерштрасс: об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ], то она ограничена на нем.

gТребуется установить, что ($c>0): (" x Î[ a,b ]®½ f (x)½£c). (1)

Предположим противное, т.е. ("c>0) ($ x _cÎ[ a,b ]): ½ f (x _c)½>c. (2)

Полагая в соотношении (2) c=1,2, …, n, … получим, что ("nÎN) ($ x _nÎ[ a,b ]): ½ f (x _n)½>n. (3)

Из условия ("nÎN)® a £ x_n £ b имеем, что последовательность {x_n} ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность: ${ }: =x. (4)

В силу условия (3): ("kÎN) ® a £ £ b. (5)

Тогда из условий (4) и (5) по теореме о предельном переходе в неравенстве получаем xÎ[ a,b ]. функция f непрерывна, поэтому из условия (4) имеем: . (6)

С другой стороны, утверждение (3) выполняется ("nÎN): в частности, при n=n_k (k=1,2,…), т.е. . Последнее означает: =+¥, так как при k®¥ также n®¥. Это противоречит условию (6), согласно которому последовательность значений функции имеет конечный предел. Условие (2) не выполнимо и справедливо утверждение (1).n

Теорема 2 (Вейерштрасс: о достижении точных граней непрерывной на отрезке функции). Если функция f (x) непрерывна на [ a,b ], то она достигает на нем своих точных граней, т.е.:

($ x, h Î[ a,b ]): (f (x) = Ù f (h) = ). (7)

gПо теореме 1 функция f (x) ограничена, а у всякого ограниченного множества E(f) существуют точные грани: =M, =m. Проведем доказательство для ТВГ:

M= Û 1) , (8) . (9)

Полагая e = 1, , , …, .., в силу условия (9), получим последовательность { x _n}: ("nÎN) ® (x_nÎ[ a,b ] Ù f (x _n) > M - ). (10)

Из условий (8), (10) заключаем: ("nÎN)®(M - < f (x _n) £ M). Это означает, что для сколь угодно больших номеров n значения последовательности { f (x_n)} мало отличается от М, т.е.: . (11). Аналогично способу доказательства предыдущей теоремы из ограниченной последовательности { x _n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность: =xÎ[ a,b ]. В силу непрерывности функции f(x) в точке x, имеем: . (12)

с другой стороны, – подпоследовательность сходящейся, согласно равенству (11), последовательности: ®M. Поэтому =М. Учитывая единственность предела, из равенства (12) заключаем: f (x) =М= . n

Теорема 3 (Больцано-Коши: о промежуточных значениях). Если функция f(x) непрерывна на [ a,b ] и f(a)=A, f(b)=B, то ("CÎ[A,B]) ($xÎ[ a,b ]): f(x)=C.

gУбедимся, что непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, также принимает и любое, лежащее между ними, значение.

Пусть для определенности f (a)=A<B=f(b) и A<C<B. Разделим [ a,b ] точкой х ₀ пополам. Тогда может быть:

1) f (x ₀)=C, т.е. искомая точка x= х ₀ найдена;

2) f (x ₀)¹C, тогда на концах одного из отрезков функция принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С (на левом – меньше С, на правом – больше С).

Обозначим такой отрезок [ a ₁ ,b ₁] и снова поделим его пополам, продолжая указанный процесс. В результате: либо через конечное число шагов придем к искомой точке x (f (x)=C); либо получим последовательность вложенных отрезков [ a _n ,b _n] по длине стремящихся к нулю, для которых выполнено неравенство: f(a_n) < C <f(b_n). (13)

По теореме о вложенных отрезках существует общая точка x всех [ a _n ,b _n]: a _n < x < b _n Ù b _n - a _n = ®0 при n®¥. В силу непрерывности функции f (x) и условий = =x имеем равенство:

= = f (x). (14)

Осуществим предельный переход в неравенстве (13): £С£ .

Учитывая соотношения (14), заключаем, что f(x)=C.n

Теорема 4 (Коши: о нулях непрерывной функции). Если непрерывная функция f(x) на концах [ a,b ] принимает значения различных знаков, то на [ a,b ] имеется хотя бы один нуль функции f (x).

Пусть функция f (x) непрерывна на D, т.е. она непрерывна в каждой точке :

. (15)

Непрерывность функции в точке - свойство локальное, так как оно связано с поведением функции в некоторой достаточно малой . Величина зависит как от , так и от выбора х ₁. Покажем, что даже при фиксированном значения для разных точек не остаются постоянными.

Функция f (x) называется равномерно непрерывной на D, если: ("e>0)($d>0):("x₁ÎD)(" x₂ÎD): . (16)

Теперь число d зависит лишь от e. Свойство равномерной непрерывности (16) является глобальным (касается всего множества D). Неважно в каком месте берутся точки x _1, x ₂Î D, лишь бы расстояние между ними было меньше d: тогда сразу соответствующие значения функции отличаются по абсолютной величине меньше, чем на e.

Из условия (16) следует (15), поэтому если - равномерно непрерывная функция, то она является непрерывной на D (если удалось найти d пригодное для всех значений х, то для каждой точки эта величина также найдена).

Теорема (Кантор). Всякая функция, непрерывная на отрезке [ a;b ], является равномерно непрерывной на нем.