Дифференцируемость случайного процесса

Определение 13. Скалярный случайный процесс второго порядка  называется дифференцируемым в точке , если существует такая случайная величина , для которой

.                           (3.7)

При этом случайная величина  называется его производной в этой точке.

Определение 14. Если скалярный случайный процесс второго порядка  является дифференцируемым в каждой точке открытого множества , то его называют дифференцируемым на множестве .

Теорема 4 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости случайного процесса). Для того, чтобы скалярный случайный процесс второго порядка  был дифференцируемым в точке , а для случайной величины  существовало математическое ожидание и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в этой точке и существовала вторая обобщенная смешанная производная от корреляционной функции  при .

Следствие 1. Для дифференцируемого на множестве T скалярного случайного процесса второго порядка  с математическим ожиданием  и корреляционной функцией  определен скалярный случайный процесс , и при этом, если скалярный случайный процесс  есть процесс второго порядка, то

1) ;  2) .                

Если к тому же  еще и стационарный процесс, то

1) ;                2) .  

Пример 2.  Покажем, что пуассоновский процесс стохастически непрерывен, но не дифференцируем.

Действительно, пусть =  - пуассоновский случайный процесс с параметром . Согласно определению, пуассоновского процесса  имеет место независимость случайных величин  и , которые распределены по Пуассону с параметрами и  соответственно.

       Если существует предел (3.7), а пространство полное, то по критерию Коши последовательность фундаментальна, если и только если она сходится.

Проверим, является ли последовательность фундаментальной, т.е. выполняется ли условие

  .              (3.8)

Возводя разность дробей в квадрат (3.8), можно переписать в виде суммы трех пределов. Учитывая, что , а пуассоновский процесс – процесс с независимыми приращениями, математическое ожидание от произведения дробей (случайных величин, пропорциональных приращениям случайного процесса на непересекающихся временных интервалах) в (3.8) «разваливается» на произведение соответствующих средних величин, которое, как нетрудно видеть, равно . Два оставшихся члена однотипны, и могут быть вычислены достаточно просто

Учитывая, что находим

Суммируя все сказанное, приходим к следующему выражению для математического ожидания в левой части (3.8)

Следовательно, можно выбрать последовательность с  и  не являющуюся фундаментальной. Тогда, согласно критерию Коши, предела (3.8) не существует, и следовательно, процесс не дифференцируем.