Гармонические колебания. Тригонометрический ряд

Одним, из важнейших понятий в радиоэлектронике являются электрические колебания. Это колебания напряжения, тока, заряда. Например, радиоволны представляют собой колебания электромагнитного поля. Гармоническим колебанием будем называть любой процесс, который описывается периодической функцией с периодом

или, что равносильно, функцией вида

.

Эту функцию называют синусоидальной или гармоникой; А - амплитуда колебания, это наибольшее значение размаха колебания; ω -угловая частота, показывает, сколько раз данное периодическое явление повторится за 2 π (единицу времени); φ - начальная фаза гармонического колебания.

Если мы сложим периодические функции

частоты которых   ω, 2ω,…, k ω,… кратны наименьшей из них, а периоды соответственно равны , то в результате получим функцию

которая также является периодической с периодом Т, но будет значительно отличаться от синусоидальной функции.

Оказывается, что если взять бесконечное множество простых гармоник, то любую периодическую функцию, с определенными, правда, свойствами, можно представить в виде их суммы или, как говорят, в виде тригонометрического ряда.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

= .

Числа а_п и b_n, где n =1,2,3,...,называют коэффициентами ряда. Свободный член (нулевую гармонику) записывают в виде  для единообразия последующих формул.

Для изучения сложного колебания, описываемого функцией f (x), периодической с периодом Т=2π, можно представить его в виде суммы простых гармонических колебаний, т.е. разложить в функцию в тригонометрический ряд

.

Поставленная задача требует решения трех вопросов:

1. При каких условиях периодическую функцию f (x) с периодом Т можно представить в виде тригонометрического ряда?

2. Единственно ли это разложение?

3. Как вычислить коэффициенты этого ряда?

Мы начнем с решения последних двух вопросов.

4.4. Ряд Фурье для функции с периодом 2π

Ответ на поставленные вопросы дает следующая теорема.

Теорема (необходимое условие разложения функции в тригонометрический ряд)

Если периодическая функция f (x) с периодом 2 π, кусочно-непрерывная на [- π; π ] разлагается в тригонометрический ряд, т.е.

,

то это разложение единственно и коэффициенты тригонометрического ряда находятся по формулам:

 

Числа а_о,, а_п,, b _п, при п = 1,2,3,..., определяемые для функции f (x) по приведенным в теореме формулам, называются коэффициентами Фурье для этой функции, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье для функции f (x).

Ответ на вопрос, какой должна быть функция f (x), чтобы ее можно было разложить в тригонометрический ряд, дает теорема Дирихле, которая определяет достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле

Если периодическая функция f (x) с периодом Т = 2π на отрезке [- π; π ] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [ - π; π ] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f (x) монотонна, то ряд Фурье функции f (x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна f (x), а в точках разрыва функции f (x) сумма ряда равна

(среднему арифметическому предельных значений слева и справа), т.е.

Функция f (x), удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле (кроме условия периодичности), называется кусочно-монотонной на отрезке [- π; π ].

Таким образом, для всех точек непрерывности функции справедливо

.

Итак, если периодическая функция f (x) с периодом Т = 2 π удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то существует тригонометрический ряд – ряд Фурье функции f (x), суммой которого является рассматриваемая функция f (x). В этом случае говорят, что функция разложима в ряд Фурье.

Заметим, что пределы интегрирования при определении коэффициентов Фурье не обязательно должны быть симметричны относительно начала координат. Длина промежутка интегрирования должна равняться периоду функции. Выбор промежутка интегрирования зависит от свойств функции.

При разложении функции f (x) в ряд Фурье советуем пользоваться следующим алгоритмом:

 1) построить график функции f (x) на нескольких периодах;

2)проверить выполнение условий Дирихле для функции f (x);

3) вычислить коэффициенты Фурье но формулам

4) записать разложение функции в ряд Фурье

и указать область, в которой это разложение справедливо.

Заметим, что областью сходимости ряда Фурье к порождающей его функции, является область непрерывности функции f (x).

При вычислении коэффициентов Фурье полезно помнить, что

sin0 = 0,    sin n π =0,   cos0 = 1,   cos n π = (-1) ^п.

 

Пример 30

Разложить в ряд Фурье функцию

удовлетворяющую условию f (x + 2 π) = f (x).

Решение.

Так как для функции f (x) выполняется условие f (x + 2 π)= f (x), следовательно, функция является периодической с периодом Т = 2 π. Построим график функции f (x) (рисунок 3).

 

Рисунок 3

Функция f (x) на отрезке [- π; π ]удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. является кусочно-монотонной.

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:

,

.

Запишем ряд Фурье

Ряд сходится при любых значениях х, но его сумма S (x) совпадает с функцией f (x) в точках непрерывности функции, т.е. для всех х, кроме точек разрыва функции. Данная функция имеет точки разрыва первого рода в точках х = 0, х =± π, х = ±2 π,... (это хорошо видно из чертежа), т.е. x - t π, t Î Z.В точках разрыва сумма ряда равна

.

Итак, разложение функции в ряд Фурье имеет вид

при .

Заметим, что график суммы ряда Фурье для данной функции совпадает с графиком данной функции в точках непрерывности функции, а в точках разрыва функции сумма ряда равна 1/2(рисунок 4).

Рисунок 4

4.5. Разложение четных и нечетных функций с периодом Т=2π в ряд Фурье

Отметим важные частные случаи разложения функции в ряд Фурье. Пусть функция f (x) интегрируема на [- π, π ] и является четной, т.е. для любых    х Î D (y)  выполняется условие – х Î D (у) и f (- x) = f (x).

Если f (x) - четная, то произведение четных функций f (x) и cosnx так же четная функция, а произведение четной функции f (x) и нечетной функции sinnx есть функция нечетная. Тогда, учитывая свойства определенного интеграла

можно упростить формулы для вычисления коэффициентов Фурье:

,

    ,

b_n = =0.

Следовательно, ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции - косинусы и записывается в виде

где коэффициенты a ₀, a_n вычисляются по формулам

, .

Если функция f (x) интегрируема на [- π. π ] и является нечетной, т.е. для любого х Î D (y) выполняется условие -х Î D (y) и   f (- x) = - f (x), то произведение нечетных функций f (x) и sin nx: есть функция четная, а произведение нечетной функции f (x) и четной функции cos nx есть функция нечетная. Учитывая приведенное выше свойство определенного интеграла, получим формулы для вычисления коэффициентов Фурье:

,

    ,

b_n = .

Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит только нечетные функции - синусы и записывается в виде

где коэффициенты Ь_п определяются по формуле

b_n = .

Пример 31

Разложить в ряд Фурье функцию f (x), заданную графически (рисунок 5).

Решение.

Из графика видно, что функция является периодической с периодом Т-2π, Так как график функции симметричен относительно начала координат, то функция является нечетной. На отрезке [- π,π ]выполняются условия Дирихле, следовательно, функция разложима в ряд Фурье.

                                                  Рисунок 5

Так как функция нечетная, то а ₀ = а_п =0. Длявычисления b _п необходимо функцию задать аналитически:

Вычислим коэффициенты b _п:

  

Запишем ряд Фурье для функции в точках ее непрерывности

Полученный ряд сходится на всей числовой прямой, его сумма S (x) в точках непрерывности совпадает с функцией f (x)_, а в точках разрыва функции, т.е. при х ≠ tπ, t ÎZ, сумма ряда Фурье

.

Итак, разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид:

.

На рисунке 6 построен график суммы S (x) полученного ряда Фурье.

Рисунок 6

4.6. Разложение в ряд Фурье периодических функций с произвольным периодом Т = 2 l

Пусть функция f (x) имеет произвольный период Т = 2 l и на отрезке [- l, l ] удовлетворяет условиям Дирихле. Разложим ее в ряд Фурье.

Рассмотрим для этого вспомогательную функцию. Полагая x = at, получим функцию f (at) с периодом . Выберем а так, чтобы период был равен 2 π, т.е. . Тогда подстановка x = at приведет к функции  с периодом Т = 2 π. Так как  удовлетворяет условиям Дирихле, то ее можно представить рядом Фурье в точках ее непрерывности:

,

где

Возвращаясь, как в ряде, так и в формулах коэффициентов Фурье, от новой переменной t к старой переменной х, учитывая, что , а dt =   в точках непрерывности функции f (x) получаем

,

где

Заметим, что если в последних формулах положить l = π, то получим формулы для разложения в ряд Фурье функции с периодом Т = 2 π.

Если периодическая функция f (x) с периодом Т = 2 1 является четной, то в точках непрерывности функции f (x) разлагается в ряд косинусов

,

где коэффициенты а ₀, а_п определяются по формулам

, .

Если функция f (x) - периодическая с периодом Т=21 является нечетной, то в точках непрерывности функции f (x) разлагается в ряд синусов

где коэффициенты b_n определяются по формуле .

 

Пример 32

Разложить в ряд Фурье функцию у = |sin x |.

Решение

Построим график данной функции (рисунок 7). Из чертежа видно, что функция у = |sin x | является периодической с периодом Т = π (значит, 2 l = π, откуда l = π / 2), четной (так как график функции симметричен относительно оси Оу). На отрезке [0, л] функция непрерывна, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле (заметим, что функция является непрерывной и на всей числовой прямой), значит, функция разложима в ряд Фурье, причем в ряд косинусов (так как функция четная).

Рисунок 7

Найдем коэффициенты Фурье:

,

Следовательно,

.

Заметим, что графики данной функции и суммы полученного ряда Фурье совпадают на всей числовой оси, так как функция у = | sinx |непрерывна на всей числовой оси.

4.7. Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на конечном промежутке

Пусть непериодическая функция f (x) задана на некотором отрезке [ a, b ]и пусть она на этом отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [ a, b ]можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f (x) монотонна. Покажем, что данную функцию в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Рассмотрим функцию f *(x) с периодом Т = 2 l ≥ b -а, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке [- l, l ] и совпадающую с данной функцией на отрезке [ a, b ](рисунок 8).

Рисунок 8

Найдем разложение функции f ^* (х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках непрерывности совпадает с функцией   f ^* (х). Так как на отрезке [ a, b ] функция f (x) совпадает с функцией f ^* (х), то сумма ряда во всех точках отрезка [ a, b ], кроме точек разрыва, совпадает с заданной функцией, таким образом, мы разложили в ряд Фурье функцию f (x) на отрезке [ a, b ]

Если функция f (x) задана на отрезке [0, l ]и непрерывна или кусочно-непрерывна на этом отрезке, то можно найти разложение функции в ряд косинусов или синусов. Для этого достаточно доопределить функцию на отрезке [- l, 0]так, чтобы ее значения в точках отрезка [- l, 0]находились из условия f (- x) = f (x) или f (- x)=- f (x). В этом случае говорят, что функцию доопределяем четным или нечетным образом. При этом коэффициенты ряда Фурье находятся по упрощенным формулам для четных или нечетных функций.

Пример 33

Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы: .

Решение.

Построим график данной функции на отрезке [0 ,π ]. Рассмотрим, вспомогательную функцию, которая на отрезке [0 ,π ]совпадает с данной. Для этого, продолжив заданную функцию четным образом на отрезке [- π,0], будем рассматривать периодическую функцию U ^* (ω t) с периодом Т = 2π (рисунок 9),

                                Рисунок 9

Функция U ^* (ω t) является четной, значит, b _п =0. Полагая ωt =х, найдем a _O, а _n:

,

Заметим, что при интегрировании использовали формулу интегрирования по частям:

Возвращаясь к исходной переменной , запишем ряд Фурье

.

Полученный ряд сходится на всей числовой оси к функции U ^* (ω t), так как функция непрерывна на всей числовой оси. А поскольку данная функция U (ω t) совпадает с U ^* (ω t) при ω t Î [ 0, π ], то справедливо разложение

.

З амечание. В индивидуальном задании требуется найти разложение в ряд Фурье функции, заданной графически. Чтобы вычислить коэффициенты Фурье, нужно перейти от графического способа задания функции к аналитическому.

Рисунок 10

Например, если функция f (x) задана графически (рисунок 10), то на отрезке [-1,1]график состоит из части горизонтальной прямой у =1при х Î[-1,0) и части наклонной прямой, проходящей через точки (0,1) и (1,2). Из аналитической геометрии известно, что если прямая проходит через точки (х ₁, у ₁)и (х ₂, у ₂), то ее уравнение имеет вид

.

Уравнение наклонной прямой, проходящей через точки (0,1)и (1,2):

.

Итак, на отрезке [-1,1] аналитическое задание функции

Заметим, что данная функция f (x) является периодической с периодом Т =2,т.е. функция удовлетворяет условию f (x + 2 )= f (x).