Дифференциальные уравнения динамики

· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.

· Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:

· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

С учетом того, что ,
где — тангенциальное ускорение;
— нормальное ускорение,
уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики

· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

· Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени — для материальной точки;
— для механической системы.

· Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении — для материальной точки;
— для механической системы.

· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
— при поступательном движении тела;
— при вращательном движении тела;
— при плоско-параллельном движении тела.

· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.

· Момент инерции стержня относительно оси z:
.

· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х и y: .

· Момент инерции шара определяется по формуле:
.

· Работа силы тяжести:
,
где P — сила тяжести;
h — изменение положения тела по вертикали.

· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M — момент силы,
w — угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной:
.

· Для механической системы:
.

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»