Экстраполяция и интерполяция

Исследование динамических рядов социально-экономических явлений, определения закономерности их развития во времени создают основу для статистического прогнозирования (экстраполяции) и интерполяции изучаемого явления.

Экстраполяция в динамике предполагает распространение полученных выводов, полученных в прошлом на будущее время. При этом предполагается, что закономерность развития, динамического ряда сохраняется в будущем.

Самый простой метод экстраполяции это применение средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

Более часто применяют экстраполяцию динамического ряда по аналитически выровненным рядам.

После того как по фактическому динамическому ряду выявлен тренд (выровненный ряд, отражающий тенденцию развития) экстраполяцию можно провести двумя методами:

1. графический метод. Заключается в построении точного графика выровненного динамического ряда, на котором линию полученного тренда продлевают до интересующей нас даты.

2. аналитический метод. При данном методе в рассчитанное аналитическое уравнение подставляют номер интересующего нас периода.

Выявление основной тенденции развития дает возможность определять также значение недостающего члена ряда – интерполяция. Также проводится графическим и аналитическим методом.

 

Пример 6.1. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет  (табл. 6.1).

 

Таблица 6.1

Год		Год
1997	19	2002	20
1998	17	2003	21
1999	18	2004	16
2000	20	2005	17
2001	21	2006	20

 

Рассчитать:

1. Показатели динамики:

· абсолютный прирост (цепной и базисный);

· темп роста (цепной и базисный);

· темп прироста (цепной);

· абсолютное значение 1% прироста;

· средние показатели динамики.

Решение.

1. Рассчитаем показатели динамики, результаты занесем в табл. 6.2.

По полученным результатам рассчитаем средние показатели динамики.

Средний абсолютный прирост рассчитывается как:

.

где - количество абсолютных приростов.

 

Таблица 6.2

Год	Количество правонарушений.	Абсолютный прирост		Темп прироста		Темп прироста	Абсолютное значение 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	цепного
1997	19	-	-	-	-	-	-
1998	17	-2	-2	89,47	89,47	-10,53	0,19
1999	18	1	-1	105,88	94,74	5,88	0,17
2000	20	2	1	111,11	105,26	11,11	0,18
2001	21	1	2	105,00	110,53	5,00	0,20
2002	20	-1	1	95,24	105,26	-4,76	0,21
2003	21	1	2	105,00	110,53	5,00	0,20
2004	16	-5	-3	76,19	84,21	-23,81	0,21
2005	17	1	-2	106,25	89,47	6,25	0,16
2006	20	3	1	117,65	105,26	17,65	0,17

 

Средний коэффициент роста рассчитывается как:

– число коэффициентов роста.

Средний темп роста рассчитывается как:

Средний темп прироста рассчитывается как:

Среднее абсолютное значение 1% среднего прироста рассчитывается как:

 

Пример 6.2. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет (табл. 6.3).

 

Таблица 6.3

Год	Количество правонарушений.
1998	16
1999	18
2000	20
2001	21
2002	20
2003	21
2004	23
2005	27
2006	20

 

Необходимо:

1. Провести выравнивание динамического ряда.

а) методом средних скользящих;

б) аналитическое выравнивание по линейной функции, и по функции параболы второго порядка.

2. Провести экстраполяцию на 2007 год.

Решение.

1. Проведем выравнивание динамического ряда.

а) Метод средних скользящих. Для выравнивания динамического ряда методом средних скользящих рассчитаем средние уровни за определенное количество лет (в нашем случае возьмем три года) со сдвигом на одну дату.

    

   

 

И т.д. результаты занесем в табл. 23.

б) Аналитическое выравнивание динамического ряда по прямой. Линейная функция динамического ряда имеет вид:

Рассчитаем неизвестные параметры уравнения и  при помощи системы уравнений:

Назначим точку отсчета, при которой сумма показателей времени исследуемого динамического ряда будет равна нулю () (табл. 22).

Сократим систему уравнений:

отсюда

и

В таблице 6.4 рассчитаем все необходимые значения для определения параметров уравнения.

 

Таблица 6.4

Год		Средняя скользящая
1998	16		-4	16	-64	16,465
1999	18	18,00	-3	9	-54	17,682
2000	20	19,67	-2	4	-40	18,899
2001	21	20,33	-1	1	-21	20,116
2002	20	20,67	0	0	0	21,333
2003	21	21,33	1	1	21	22,550
2004	23	23,67	2	4	46	23,767
2005	27	25,33	3	9	81	24,984
2006	26		4	16	104	26,201
Итого	192		0	60	73

 

Рассчитаем:

 

Подставим полученные значение в уравнение:

Подставляя в полученные уравнения значения  рассчитаем теоретические значения :

И т.д. результаты занесем в таблицу 22.

2. Проведем экстраполяцию на 2007 год. Номер t для 2007 г. будет 5. Подставим данные номера в уравнение линейного тренда и проведем прогнозирование на данный период.

Для 2007 г:

 

Пример 6.3. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет (табл. 6.4).

 

Таблица 6.4

Год	Количество правонарушений.
1998	7
1999	8
2000	11
2001	10
2002	12
2003	14
2004	10
2005	13
2006	11

 

Провести выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка.

Решение.

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид:

Для расчета параметров уравнения используем систему уравнений:

.

Приравняв  система сократится:

Рассчитаем все возможные значения в табл. 6.5

 

Таблица 6.5

Год	надой
1998	7	-4	16	256	-28	112	6,80
1999	8	-3	9	81	-24	72	8,60
2000	11	-2	4	16	-22	44	10,04
2001	10	-1	1	1	-10	10	11,13
2002	12	0	0	0	0	0	11,86
2003	14	1	1	1	14	14	12,23
2004	10	2	4	16	20	40	12,24
2005	13	3	9	81	39	117	11,90
2006	11	4	16	256	44	176	11,20
Итого	96	0	60	708	33	585

 

Из уравнения (5) рассчитаем:

Останется система из двух уравнений:

 подставим значения

Рассчитаем параметр , исключив из системы параметр , для этого:

а) разделим 7-е и 8-е уравнения на коэффициенты, стоящие при , т.е. 7-е на 9, а 8-е на 60.

Таким образом, коэффициенты, стоящие при , будут равны единице.

б) далее из 8-го сокращенного уравнения вычтем 7-е сокращенное уравнение, исключив таким образом .

Получится уравнение с одним неизвестным :

Подставим параметры  и  в 1-е уравнение и рассчитаем параметр .

Подставим значение параметров в уравнение :

Подставляя значение и  рассчитаем значения .

Пример 6.4. За ряд лет по хозяйству имеются данные о сдельной среднемесячной заработной плате (табл. 6.6).

 

Таблица 6.6

Месяц	Год
	2004г	2005г	2006г
Январь	7,28	8,52	5,46
Февраль	7,54	9,12	5,88
Март	8,06	7,80	6,93
Апрель	6,76	7,44	4,62
Май	6,50	7,20	3,78
Июнь	6,11	6,72	3,99
Июль	4,16	6,12	3,32
Август	6,50	7,68	6,72
Сентябрь	8,19	7,80	6,72
Октябрь	8,97	7,80	7,77
Ноябрь	9,10	8,16	8,19
Декабрь	10,14	8,28	9,87

 

Необходимо выявить сезонность изменений среднемесячной оплаты труда, предварительно проведя аналитическое выравнивание динамического ряда по прямой или по другой более подходящей функции.

Решение. Проведем выравнивание динамического ряда по прямой (табл. 26).

Рассчитаем параметры уравнения (см. пример 6.7).

 

 

Таблица 6.7

Месяц
А	1	2	3	4	5
Январь	7,28	-35	1225	-254,80	7,63
Февраль	7,54	-33	1089	-248,82	7,60
Март	8,06	-31	961	-249,86	7,57
Апрель	6,76	-29	841	-196,04	7,54
Май	6,50	-27	729	-175,50	7,51
Июнь	6,11	-25	625	-152,75	7,48
Июль	4,16	-23	529	-95,68	7,45
Август	6,50	-21	441	-136,50	7,42
Сентябрь	8,19	-19	361	-155,61	7,39
Октябрь	8,97	-17	289	-152,49	7,35
Ноябрь	9,10	-15	225	-136,50	7,32
Декабрь	10,14	-13	169	-131,82	7,29
Январь	8,52	-11	121	-93,72	7,26
Февраль	9,12	-9	81	-82,08	7,23
Март	7,80	-7	49	-54,60	7,20
Апрель	7,44	-5	25	-37,20	7,17
Май	7,20	-3	9	-21,60	7,14
Июнь	6,72	-1	1	-6,72	7,10
Июль	6,12	1	1	6,12	7,07
Август	7,68	3	9	23,04	7,04
Сентябрь	7,80	5	25	39,00	7,01
Октябрь	7,80	7	49	54,60	6,98
Ноябрь	8,16	9	81	73,44	6,95
Декабрь	8,28	11	121	91,08	6,92
Январь	5,46	13	169	70,98	6,89
Февраль	5,88	15	225	88,20	6,85
Март	6,93	17	289	117,81	6,82
Апрель	4,62	19	361	87,78	6,79
Май	3,78	21	441	79,38	6,76
Июнь	3,99	23	529	91,77	6,73
Июль	3,32	25	625	83,00	6,70
Август	6,72	27	729	181,44	6,67
Сентябрь	6,72	29	841	194,88	6,64
Октябрь	7,77	31	961	240,87	6,61
Ноябрь	8,19	33	1089	270,27	6,57
Декабрь	9,87	35	1225	345,45	6,54
Итого	255,20	0	15540	-243,18

Подставляя значение в полученное уравнение рассчитаем значения .

 

Рассчитаем индексы сезонности (табл. 6.8):

 

Таблица 6.8

Месяц			Индексы сезонности
Январь	7,28	7,63	0,9535
Февраль	7,54	7,60	0,9916
Март	8,06	7,57	1,0644
Апрель	6,76	7,54	0,8964
Май	6,50	7,51	0,8655
Июнь	6,11	7,48	0,8170
Июль	4,16	7,45	0,5586
Август	6,50	7,42	0,8764
Сентябрь	8,19	7,39	1,1090
Октябрь	8,97	7,35	1,2197
Ноябрь	9,10	7,32	1,2427
Декабрь	10,14	7,29	1,3906
Январь	8,52	7,26	1,1735
Февраль	9,12	7,23	1,2615
Март	7,80	7,20	1,0836
Апрель	7,44	7,17	1,0381
Май	7,20	7,14	1,0090
Июнь	6,72	7,10	0,9459
Июль	6,12	7,07	0,8652
Август	7,68	7,04	1,0906
Сентябрь	7,80	7,01	1,1126
Октябрь	7,80	6,98	1,1175
Ноябрь	8,16	6,95	1,1744
Декабрь	8,28	6,92	1,1970
Январь	5,46	6,89	0,7929
Февраль	5,88	6,85	0,8578
Март	6,93	6,82	1,0156
Апрель	4,62	6,79	0,6802
Май	3,78	6,76	0,5591
Июнь	3,99	6,73	0,5929
Июль	3,32	6,70	0,4956
Август	6,72	6,67	1,0078
Сентябрь	6,72	6,64	1,0126
Октябрь	7,77	6,61	1,1763
Ноябрь	8,19	6,57	1,2458
Декабрь	9,87	6,54	1,5085
Итого			35,999278

Рассчитаем средний индекс сезонности:

 

Большое значение индекса сезонности указывает на наличие сезонных колебаний.