Рішення прямокутних трикутників.

ПЛОЩІ ЧОТИРИКУТНИКІВ.

46. У трапеції АВСD (АD||ВС) АВ=12, ВD=16, АD=20, СЕ  ВD. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута ВСЕ.

47. Площа ромба дорівнює 4  , а його сторона 2  . Знайдіть кути ромба.

48. У прямокутному трикутнику АСВ ( С=90  ) СЕ  АВ, СD – медіана, АВ=4, ЕD=  . Знайдіть кути трикутника.

49. У трикутнику АВС АВ=ВС=5, АС=6. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута АВС.

50. Знайдіть кути паралелограма, якщо його площа дорівнює 20см  , а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить одну із сторін на відрізки 2см і 8см, рахуючи від вершини гострого кута.

51. У трикутнику АВС В=130 , АВ= , ВС= , а в паралелограмі МРКН МР= , МН= , М=50 . Знайдіть відношення площі трикутника до площі паралелограма.

52. У прямокутному трикутнику АВС точка О - середина медіани СН, проведеної до гіпотенузи АВ, АС = 6см, ВС = 8см. Знайдіть площу трикутника ОВС.

53. Усередині паралелограма АВСD позначена точка М. Доведіть, що сума площ трикутників АМD і ВМС дорівнює половині площі паралелограма.

54.  У трикутнику АВС С=90 . На сторонах АС, АВ, ВС відповідно взяті точки М, Р, К так, що чотирикутник СМРК є квадратом, АС=6см, ВС=14см. Знайдіть сторону МС.

55. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири трикутники, що мають однакову площу.

56. У трапеції АВСD з основами АD і ВС діагоналі перетинаються в точці О, що вилучена від прямій СD на 4см. Знайдіть площу трикутника АОВ, якщо СD=8см.

57. Висота рівнобедреної трапеції, яка проведена з вершини тупого кута і ділить більшу основу на два відрізки, один з яких дорівнює половині меншої основи, дорівнює 6см. Більша основа більше меншої на 2см. Знайдіть площу трапеції.

58. У трапеції АВСD АD – більша основа, D=60  . Бісектриси кутів С і D перетинаються в точці О, ОD=  , ВС=  , АD=  . Знайдіть площу трапеції.

59. У трапеції МНРК МН=НК, точка А – середина більшої основи МК, а точка В – середина бічної сторони МН, ВА  МН, МК=  , НР=  . Знайдіть площу трапеції.

60. У деякій трапеції діагональ і бічна сторона, що виходять із вершини тупого кута, рівні 26см і см відповідно, висота трапеції 24см, менша основа 7см. Знайдіть площу трапеції.

61. У трикутнику АВС АВ=  , ВС=2. На стороні АС позначена точка М так, що АМ=1, ВМ=1. Знайдіть АВС.

62. У паралелограмі менша висота й менша сторона дорівнює 9см і см відповідно. Більша діагональ 15см. Знайдіть площу паралелограма.

63. У рівнобедреній трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями бічна сторона дорівнює 26см. Висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, менший з яких дорівнює 24см. Знайдіть площу трапеції.

64. Бічні сторони трапеції рівні 9см і 12см, а основи 30см і 15см. Знайдіть кут, що утворюють продовження бічних сторін трапеції.

65. У рівнобедреній трапеції діагональ дорівнює 25см, а висота 15см. Знайдіть площу трапеції.

66. Діагоналі деякої трапеції рівні 5см і 12см, а основи 3см і 10см. Знайдіть кути між діагоналями трапеції.

67. У трикутнику АВС бісектриси АD і СЕ перетинаються в точці М, ВМ= , АВС=  . Знайдіть відстань від точки М до сторони АС.

68. Висоти АК і СЕ гострокутного трикутника АВС перетинаються в точці О, ОА=4, ОК=3, ВК=4. Знайдіть відстань від точки О до сторони АС.

69. Доведіть, що якщо трапецію можна розділити одною прямою на ромб і рівносторонній трикутник, те середня лінія трапеції становить більшої основи.

70. У рівнобедреній трапеції  (  - основи) діагоналі взаємно перпендикулярні, висота трапеції дорівнює 12см. Відстань від вершини А до прямої  в три рази більше, ніж відстань від вершини В до цієї прямої. Знайдіть основи трапеції.

71. Катети прямокутного трикутника ставляться як 3:4. Обчислите площу трикутника, якщо різниця між радіусами описаного і вписаного кіл дорівнює 15см.

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ. 

БАЗОВИЙ РІВЕНЬ.

72. Медіана й висота прямокутного трикутника, проведені до гіпотенузи, рівні відповідно 13см і 12см. Знайдіть периметр даного трикутника.

73. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10см, відстань між серединою гіпотенузи і основою висоти трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 6см. Знайдіть периметр даного трикутника.

74. Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить один з його катетів на відрізки 2см і 8см, рахуючи від вершини прямого кута. Знайдіть сторони трикутника.

75. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки 8см і 12см. Знайдіть сторони трикутника.

76. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6см, медіана до нього дорівнює 5см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

77. У прямокутному трикутнику АВС (  ) катет АС=5см, медіана АМ=13см. Знайдіть гіпотенузу АВ.

78. Висота ВК трикутника АВС ділить сторону АС на відрізки АК і СК так, що АК=12см, СК=4см. Знайдіть довжину сторони ВС, якщо .

79. Висота АЕ ділить сторону ВС трикутника АВС на відрізки ВЕ й СЕ. Знайдіть довжину сторони АС, якщо СЕ= см, , АВ=18см.

80. Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 26см, різниця катетів – 14см.

81. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 21см, інший катет на 7см менше гіпотенузи. Знайдіть площу трикутника.

82. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 30см, радіус описаного біля нього кола – 17см. Обчисліть площу трикутника.

83. Один з катетів прямокутного трикутника 12см, медіана до гіпотенузи дорівнює 18,5см. Обчисліть площу трикутника.

84. АК - бісектриса трикутника АВС, АК=  , , . Знайдіть довжину відрізка ВК.

85. На стороні ВС трикутника АВС позначили точку Е. АЕ – бісектриса трикутника. Знайдіть довжину ВЕ, якщо , , АВ=с.

86. Висота АМ трикутника АВС ділить сторону ВС на відрізки ВМ і МС. Знайдіть довжину відрізка МС, якщо АВ=10 см, АС=26см, .

87. Висота ВЕ трикутника АВС ділить сторону АС на відрізки АЕ й СЕ. Знайдіть довжину відрізка ВА, якщо ЕС=8см, ВС=17см, .

88. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15см, висота до основи на 6см менше основи. Знайдіть основу трикутника.

89. Основа рівнобедреного трикутника на 2см більше бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника, якщо висота до основи 8см.

90. У рівнобедреному трикутнику висота до бічної сторони 8см і ділить її на дві частини, одна з яких, прилегла до вершини трикутника, дорівнює 6см. Знайдіть основу трикутника.

91. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4см і 16см, рахуючи від вершини кута при основі. Знайдіть основу трикутника.

92. У рівнобедреному трикутнику АВС(АВ=ВС) бісектриса кута А перетинає сторону ВС в точці М. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо .

93. У рівнобедреному трикутнику МКЕ (МК=КЕ) бісектриса кута Е перетинає сторону МК у точці С. Знайдіть кути трикутника МКЕ, якщо

94. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5:6, висота трикутника до основи 12см. Знайдіть периметр трикутника.

95. Основа рівнобедреного трикутника відноситься до його висоти, проведеної до основи, як 8:3, бічна сторона трикутника 40см. Знайдіть периметр трикутника.

96. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 54см, висота до основи 9см.

97. Периметр рівнобедреного трикутника 72см, висота до основи дорівнює 24см. Знайдіть сторони трикутника.

98. Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 24см, радіус описаного біля кола – 13см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

99. Висота рівнобедреного гострокутного трикутника, проведена до основи, дорівнює 8см, радіус описаного кола 5см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

100. У трикутнику АВС АС=ВС, АВ=2 см, ,

АЕ - бісектриса. Знайдіть довжину АЕ.

101. У трикутнику АВС , , АС=3 см,

СМ - бісектриса. Знайдіть довжину АМ.

102. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 90см, висота до основи 15см. Знайдіть площу трикутника.

103. Сторони трикутника 29см, 25см, 6см. Знайдіть довжину висоти трикутника, проведеної до меншої сторони.

104. Знайдіть площу круга, вписаного в трикутник зі сторонами 4см, 13см, 15см.

105. Знайдіть площу круга, описаного біля трикутника зі сторонами 13см, 14см, 15см.

106. Периметр трикутника АВС, описаного біля кола, дорівнює 36см. Точка дотику кола зі стороною ВС ділить її у відношенні 2:5, рахуючи від точки В, точка дотику зі стороною АС вилучена від точки А на 4см. Знайдіть сторони трикутника.

107. Периметр трикутника АВС, описаного біля кола, дорівнює 30см. Точка дотику кола зі стороною АВ ділить її у відношенні 3:2, рахуючи від точки А, точка дотику зі стороною ВС вилучена від точки С на 5см. Знайдіть сторони трикутника.

108. Висота ВМ трикутника АВС ділить його сторону АС на відрізки АМ і СМ. Знайдіть довжину СМ, якщо АВ=2 см, ВC=5см, .

109. Висота ЕО трикутника МЕК ділить його сторону МК на відрізки МО і ОК. Знайдіть МЕ, якщо ОК=6 см, МО=8см, .

110. Одна із сторін трикутника 35см, дві інші відносяться як 3:8 і утворюють кут . Знайдіть невідомі сторони трикутника.

111. Дві сторони трикутника відносяться як :7, а кут між ними дорівнює . Знайдіть ці сторони, якщо третя сторона трикутника 30см.

112. Із точки до прямої проведені дві похилі. Їх проекції дорівнюють 9см і 16см. Знайдіть відстань від даної точки до прямої, якщо одна з похилих на 5см більше іншої.

113. Із точки О, що не лежить на прямій, проведені до цієї прямої дві похилі, які утворюють із прямою кути і . Знайдіть довжину проекції більшої похилої на пряму, якщо менша похила дорівнює 10 см.

114. Із точки О, що не лежить на прямій, проведені до цієї прямої дві похилі, які утворюють із прямою кути і . Знайдіть довжину проекції меншої похилої на пряму, якщо більша похила дорівнює 8 см.

115. Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону на частини 3см і 5см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть площу паралелограма, якщо гострий кут дорівнює .

116. Через середину діагоналі АС прямокутника АВСК проведена пряма, що перетинає сторони ВС і АК у точках М і О відповідно, АС=15см, АО=4см, ОК=8см. Знайдіть площу чотирикутника АМСО.

117. Висоти паралелограма рівні 8см і 12см, кут між ними дорівнює . Знайдіть площу паралелограма.

118. Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого рівні 16см і 20см, одна з них перпендикулярна стороні.

119. На стороні ВС квадрата АВСО позначена точка М так, що  . Знайдіть довжину МО, якщо АВ= см.

120. На стороні СО квадрата АВСО позначена точка К так, що  . Знайдіть довжину АК, якщо ВР= см.

121. На стороні АВ квадрата АВСО позначена точка К, на стороні СО - точка М так, що АК:КВ=1:2, ОМ:МС=3:1. Знайдіть сторону квадрата, якщо МК=26см.

122. На стороні ВС прямокутника АВСО позначена точка М. Знайдіть площу чотирикутника АМСО, якщо АМ=13см, АВ=12см, ВО=20см.

123. На катеті АС прямокутного трикутника АВС (  ) позначили точку К. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо АК=8см, ВС=17см, ВК=25см.

124. Більша діагональ ромба дорівнює d, гострий кут - . Знайдіть сторону й меншу діагональ ромба.

125. Площа ромба 120см  , діагоналі відносяться 5:12. Знайдіть периметр ромба.

126. Периметр ромба 120см, діагоналі відносяться 3:4. Знайдіть площу ромба.

127. Знайдіть площу ромба, якщо його сторона дорівнює15см, сума діагоналей – 42см.

128. Знайдіть площу ромба, якщо сторона ромба 25см, різниця діагоналей 10см.

129. Перпендикуляр, проведений до сторони із точки перетину діагоналей, ділить її на відрізки 3см і 12см. Знайдіть діагоналі ромба.

130. Основи прямокутної трапеції 18см і 12см, діагональ є бісектрисою її гострого кута. Знайдіть площу трапеції.

131. Основи прямокутної трапеції 9см і 17см, діагональ є бісектрисою її тупого кута. Знайдіть площу трапеції.

132. У рівнобічній трапеції АВСО основа ВС=6см, висота СЕ=2 см, бічна сторона утворює з основою АО кут . Знайдіть основу АО трапеції.

133. У равнобічній трапеції діагональ є бісектрисою її тупого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки 7см і 11см. Знайдіть периметр трапеції.

134. Сторона АВ трикутника АВС дорівнює 12см. Сторона ВС розділена на три рівні частини й через точки ділення провели прямі, паралельні стороні АВ. Знайдіть відрізки цих прямих, які утворилися між сторонами трикутника.

135. Сторона АС трикутника АВС розділена на три рівні частини й через точки ділення провели прямі, паралельні стороні АВ. Менший з відрізків цих прямих, які утворилися між сторонами трикутника, менше сторони АВ на 8см. Знайдіть сторону АВ трикутника.

136. Менша основа прямокутної трапеції дорівнює 12см, менша бічна сторона дорівнює 4 см. Знайдіть площу трапеції, якщо один з її кутів дорівнює .

137. Менша основа рівнобедреної трапеції 15см, висота 3  см. Знайдіть площу трапеції, якщо один з кутів дорівнює .

138. Основи рівнобедреної трапеції 12см і 20см, діагональ є бісектрисою її тупого кута. Знайдіть площу цієї трапеції.

139. У равнобічній трапеції АВСО АВ=СО=6см, ВС=8см, АО=12см. Знайдіть синус, косинус, тангенс кута А трапеції.

140. У прямокутній трапеції АВСО (ВС||АО, ), АВ=4см, ВС=7см, АО=10см. Знайдіть синус, косинус, тангенс кута О трапеції.

141. Одна з діагоналей трапеції дорівнює 28см і ділить іншу діагональ на відрізки 5см і 9см. Знайдіть відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить першу діагональ.

142. Одна з діагоналей трапеції і її основи рівні відповідно 40см, 18см і 30см. Знайдіть відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить дану діагональ.

143. Продовження бічних сторін АВ і СО трапеції АВСО перетинаються в точці К. Менша основа ВС=4см, ВК=5см, АВ=15см. Знайдіть більшу основу трапеції.

144. Продовження бічних сторін АВ і СО трапеції АВСО перетинаються в точці Е. Більша основа АО=12см, АЕ=15см, ВЕ=5см. Знайдіть меншу основу трапеції.

145. У трикутник АВС вписано ромб АМОК так, що кут А спільний, вершина О належить стороні ВС. Знайдіть сторону ромба, якщо АВ=10см, АС=15см.

146. У трикутник АВС вписано ромб СМКО так, що кут С спільний, вершина К належить стороні АВ. Знайдіть сторону ВС, якщо АС=12см, довжина сторони ромба 4см.

147. Відомо, що О - точка перетину діагоналей АС і ВК трапеції АВСК (ВС||АК). Знайдіть довжини відрізків ВО і ОК, якщо АО:ОС=7:6 і ВК=39см.

148. Продовження бічних сторін АВ і СО трапеції АВСО перетинаються в точці М. Знайдіть АМ, якщо АВ=6см, ВС:АО=3:4.

149. Продовження бічних сторін АВ і СО трапеції АВСО перетинаються в точці М, ОС:СМ=3:5, ВС - менша основа трапеції. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 26см.

150. Пряма, паралельна стороні АС трикутника АВС, перетинає сторону АВ у точці М, сторону ВС у точці К, ВМ=4см, АС=8см, АМ=МК. Знайдіть АВ.

151. У трапеції АВСО (ВС||АО), К - точка перетину діагоналей, АК:КС=9:4, ОК-ВК=15см. Знайдіть діагональ ВО.

152. У трапеції АВСО (АО||ВС) К - точка перетину діагоналей, АК:КС=5:2, середня лінія дорівнює 7см. Знайдіть основи трапеції.

153. У трапеції АВСК (ВС||АК) О - точка перетину діагоналей. Знайдіть відношення площ трикутників ВОС і АОК, якщо ВС=3см, АК=7см.

154. В колі проведені дві хорди АВ і СЕ, які перетинаються в точці М. Знайдіть довжину відрізка АС, якщо СМ=3см, ВМ=9см, ВЕ=12см.

155. В колі проведені дві хорди АК і ВМ, які перетинаються в точці С. Знайдіть довжину КМ, якщо АВ=4см, ВС=2см, КС=8см.

156. Радіуси двох кіл дорівнюють 3см і 8см, відстань між центрами 13см. Знайдіть довжину їх загальної зовнішньої дотичної.

157. Радіуси двох кіл дорівнюють 10см і 2см, довжина їх спільної зовнішньої дотичної 15см. Знайдіть відстань між центрами кіл.

158. Два кола із центрами Е і М, радіуси яких 10см і 16см відповідно, мають внутрішній дотик в точці С. Пряма, що проходить через точку С, перетинає коло із центром Е в точці А, а друге коло - у точці В. Знайдіть довжини хорд АС і ВС, якщо АВ=39см.

159. Два кола із центрами Е і М мають зовнішній дотик в точці С. Пряма, що проходить через точку С, перетинає коло із центром Е в точці А, а друге коло - у точці В. Хорда АС=12см, хорда ВС=18см. Знайдіть радіуси кіл, якщо ЕМ=20см.

160. У кут, рівний , вписано два кола, які мають зовнішній дотик. Знайдіть радіус більшого з них, якщо радіус меншого дорівнює 6см.

161. У кут, рівний , вписані два кола, які мають зовнішній дотик. Знайдіть радіус меншого з них, якщо радіус більшого дорівнює 12см.