Додатковий матеріал для ознайомлення

1.Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

                        

, аналогічно запишіть ще дві рівності зв'язку сторін та кутів трикутника.

2. Для тупокутного трикутника:

, , де  - тупий кут.

3. Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

   , де  - радіус описаного навколо трикутника кола.

Співвідношення між сторонами трикутника та

протилежними сторонами. В трикутнику напроти більшого кута лежить більша сторона, напроти більшої сторони лежить більший кут.

ПРАКТИЧ НА ЧАСТ ИНА НА ПОВТОРЕН НЯ ВС ЬО ГО МАТЕР І АЛ У.

ЧОТИРИКУТНИКИ.

1. Вивести формули для обчислення медіани трикутника за відомими трьома сторонами.

2. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15см. На основі трикутника взята довільна точка і проведені через неї дві прямі, паралельні бічним сторонам трикутника. Знайти периметр утвореного чотирикутника.

3. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайти периметр ромба, якщо довжина меншої діагоналі дорівнює 12дм.

4. Сума відстаней від точки перетину діагоналей прямокутника до сусідніх сторін дорівнює 43см. Одна зі сторін прямокутника на 7см менше іншої. Знайти ці сторони.

 5. З вершини тупого кута ромба, що дорівнює 120  , проведена висота, що відтинає від сторони відрізок 2см. Знайти меншу діагональ і периметр ромба.

 6. У паралелограмі АВКМ бісектриса гострого кута А ділить сторону ВК на відрізки, з яких один в 3 рази більше іншого. Знайти периметр паралелограма, якщо більша сторона паралелограма дорівнює 20см.

7. Сторона ромба утворює із діагоналями кути, які відносяться 1:5, знайти периметр ромба, якщо висота ромба дорівнює 14см.

8. У паралелограмі до сторони проведено перпендикуляр, що ділить її

  навпіл. Периметр паралелограма дорівнює 10см. Знайти довжину цього перпендикуляра, якщо різниця сторін паралелограма дорівнює 3см. Розгляньте можливі випадки.

9. Знайти довжини двох взаємно перпендикулярних хорд, проведених з однієї точки кола і віддалених від центра на 7см і 9см.

10. Діагональ рівнобедреної трапеції перпендикулярна бічній стороні, менша основа трапеції дорівнює бічній стороні. Знайдіть кути трапеції.

11. Побудувати прямокутник по діагоналі й куту, що вона утворить зі стороною прямокутника.

12. На діагоналі квадрата відкладені рівні відрізки, які дорівнюють четвертій частині діагоналі. Кінці відрізків з'єднані з вершинами квадрата. Знайти периметр чотирикутника, що утворився, якщо діагональ квадрата дорівнює 8см.

13. У чотирикутнику ABCD AB||CD, BC||AD, AC=20см,

BD=10см, AB=13см. Діагоналі чотирикутника перетинаються в точці О. Знайти периметр  CОD.

14. Дано паралелограм ABCD з гострим кутом А. З вершини В проведено перпендикуляр ВК до прямої АD, АК=ВК. Знайдіть С и D.

15. У чотирикутнику ABCD А+  В=180  , AB||CD. На сторонах BC і АD позначені точки М і К відповідно так, що ВМ = КD. Доведіть, що точки М і К розташовані на однаковій відстані від точки перетину діагоналей чотирикутника.

16. На сторонах РК і МН паралелограма МРКН узяті точки А і В відповідно, МР=РВ=АК, МРВ = 60  . Знайдіть кути паралелограма й порівняйте відрізки ВМ і АН.

17. У чотирикутнику МРКН РМК =  НКМ, РК||МН. Через точку перетину діагоналей проведена пряма, що перетинає сторони РК і МН у точках А і В відповідно. Доведіть, що АР=НВ.

18. На сторонах ВС і АD паралелограма АВСD узяті точки М і К, АВ =ВМ=КD, АМВ=30 . Знайдіть кути паралелограма і порівняйте відрізки АМ і СК.

19. В опуклому чотирикутнику ABCD А+  В=  В+ С=180  . Через точку О перетину діагоналей чотирикутника проведена пряма, що перетинає сторони ВС і АD у точках М і К відповідно, ВОМ=90 . Доведіть, що ВК=ВМ.

20. На сторонах ВС і СD паралелограма ABCD позначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВН і МD перетинаються в точці О, ВНD=95  , DМС=90 , ВОD=155 . Знайдіть відношення довжин відрізків АВ і МD і кути паралелограма.

21. В опуклому чотирикутнику МРКН М+  Р=180  ,

    МКН=  КМР. На сторонах МН і РК позначені точки А і В так, що РВ=РА. Відрізок АВ проходить через точку перетину діагоналей чотирикутника. Доведіть, що НР АВ.

22. У паралелограмі ABCD на сторонах АD і ВС узяті точки К і Е відповідно так, що КВЕ=90  і відрізок ЕК проходить через точку О перетину діагоналей. Доведіть, що ВО=ОЕ.

23. На сторонах АС і ВС трикутника АВС позначені точки D і Е відповідно, а усередині трикутника - точка М так, що чотирикутник DСЕМ є паралелограмом і DЕ||АВ. Пряма DМ перетинає відрізок АВ в точці К, а пряма ЕМ - в точці Н. Доведіть, що АК=НВ.

24. У паралелограмі ABCD через точку О - перетину діагоналей проведена пряма, що перетинає сторони ВС і АD в точках К і Е відповідно, ВО=ОЕ. Знайдіть кут КВЕ.

25. На сторонах АВ і АD паралелограма ABCD узяті точки М і К відповідно, МК||ВD. Пряма МК перетинає промінь СВ у точці Е, а промінь СD - у точці Р. Доведіть, що ЕМ=КР.

26. У рівнобедреній трапеції більша основа у два рази більше меншого. Середина більшої основи вилучена від вершини тупого кута на відстань, рівну довжині меншої основи. Знайдіть кути трапеції.

27. У прямокутній трапеції гострий кут і кут, що становить менша діагональ із меншою основою, рівні по 60 . Знайти відношення основ.

28. У рівнобедреній трапеції діагональ утворює із бічною стороною кут 120 . Бічна сторона дорівнює меншій основі. Знайти кути трапеції.

29. У прямокутній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні. Більша діагональ утворює із меншою бічною стороною кут в 60  . Доведіть, що менша діагональ дорівнює півсумі основ трапеції.

30. З вершини прямого кута меншої основи прямокутної трапеції під кутом 45 до цієї основи проведено промінь, що проходить через середину більшої бічної сторони. Доведіть, що менша бічна сторона цієї трапеції дорівнює сумі основ.

31. У прямокутнику МРКН точка О - точка перетину діагоналей, РА і НВ - перпендикуляри, проведені з вершин Р і Н до прямої МК. Відомо, що МА=ОВ. Знайти кут РОМ.

32. У чотирикутнику МРКН точка О – точка перетину діагоналей, ОМН =  ОНМ, РН=МК, РК=МН. Знайти кут МНК.

33. У прямокутнику ABCD точки М і К – середини сторін АВ і АD відповідно. На прямий АС взяли точку Р, на прямій ВD – точку Е, МР АС, КЕ ВD. Відомо, що 4КЕ = АD. Знайдіть відношення сторін АР і РС.

34. На основі АС рівнобедреного трикутника АВС узята точка Р, а на сторонах АВ і ВС - відповідно точки М і К, АМ=СК,

    2МК=АС=4АР. Знайдіть кут РМК.

35. Деяка пряма, паралельна основі МК рівнобедреного трикутника МРК, перетинає сторони МР і РК у точках В і С відповідно. Точка А ділить відрізок МК у відношенні 1:3, починаючи від точки М, ВС = 2АМ. Знайдіть кут МАВ.

36. У ромбі АВСD точка О - точка перетину діагоналей, ОМ, ОК, ОЕ - перпендикуляри, опущені на сторони АВ, ВС, СD відповідно. Доведіть, що ОМ = ОК і знайдіть суму кутів МОВ і СОЕ.

37. У трикутнику АВС В=90 , АВ=ВС. На сторонах АВ і ВС узято точки М і Р, а на стороні АС – точки К і Н так, що чотирикутник МРНК є квадратом, МР =  . Знайдіть АС.

38. У ромбі АВСD кут В - тупий. На стороні АD узята точка К,

  ВК АD. Прямі ВК і АС перетинаються в точці О, АС = 2ВК. Знайдіть кут АОВ.

39. На сторонах ВС і СD квадрата АВСD позначені точки М і К відповідно, МС = КD. Відрізки DМ і АК перетинаються в точці ПРО, 2ОМ = АМ. Знайдіть кут АМО.

40. Побудуйте ромб за гострим кутом і відрізком, довжина якого дорівнює відстані між прямими, що містять протилежні сторони ромба.

41. Чотирикутники АВСD і DCEF мають спільну сторону СD. Точки А, D, F не лежать на одній прямій, АВ=СD=ЕF, АВ||СD||ЕF. Діагоналі чотирикутників АВСD і DCEF перетинаються відповідно в точках К і М. Доведіть, що АF||КМ і АF =2КМ.

42. У трапеції АВСD (АD і ВС основи) А=90  , С=135  ,

  АВ=2см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна бічній стороні.

43. У рівнобедреній трапеції гострі кути рівні по 60 , бічна сторона дорівнює 10см, а більша основа 15см. Знайдіть меншу основу і середню лінію трапеції.

44. У рівнобедреній трапеції діагональ, яка дорівнює 4см, утворює із основою кут 60 . Знайдіть середню лінію трапеції.

  45. Доведіть, що якщо трапецію можна розділити двома прямими на три рівносторонніх трикутники, те середня лінія такої трапеції в півтора рази більше меншої основи.