Тільки у рівносторонньому трикутнику медіана збігається з бісектрисою і висотою.

28. Центр кола, яке описане навколо рівностороннього    трикутника, належить будь-якій медіані і ділить у трикутнику цю медіану у відношенні 2:1, починаючи з вершини.

29. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника - середина гіпотенузи.

Дотична до кола – пряма, яка проходить через точку на колі і перпендикулярна радіусу, що проведений у цю точку дотику. А – точка дотику, О – центр кола, а – дотична до кола.

30.

 

Властивість дотичних.

Відрізки дотичних рівні.

       АВ=АС; В, С - точки дотику.

 

31. Відстань між центрами двох кіл, що стосується випадку зовнішнього дотику, дорівнює сумі радіусів цих кіл, а у випадку внутрішнього дотику – різниці радіусів.

                               

Зовнішній дотик. ОК=ОС+СК, ОС, СК – радіуси.

                            

Внутрішній дотик. ОК=ОС–КС, ОС, КС – радіуси.

32. Коло називається вписаним у трикутник, якщо всі сторони трикутника є дотичні до кола.

3 3. Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник                .

34. Теорема. Центр вписаного кола в трикутник - точка перетину бісектрис кутів трикутника.

ЧОТИРИКУТНИКИ.

1. Чотирикутник – фігура, що складається із чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднуючих їх відрізків.

Особливості:

- ніякі триз даних точок не лежать на одній прямій;

- з'єднуючі їх відрізки не перетинаються.

Точки – вершини, відрізки – сторони чотирикутника. Сусідні вершини – кінці однієї сторони. Протилежні вершини – ті, які не є сусідніми.

Діагональ чотирикутника – відрізок, що з'єднує протилежні вершини чотирикутника.

Завдання. Зобрази в зошиті чотирикутник, познач і вкажи всі елементи.

Опуклий чотирикутник, якщо він лежить в одній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить його сторону.

      Завдання. Познач і визнач опуклість чотирикутників.

 

 

      

 

2. Паралелограм ( визначення) – це чотирикутник, у якого  протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

3. Властивості паралелограма:

   1) діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл;

   2) у паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні;

  3) діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники;

  4) сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180  ;

  5) сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін (доведення розглянемо після вивчення відповідного матеріалу).

       Доведення цих теорем:

1 властивість)

Дано: АВСD - паралелограм.      ВD і АС - діагоналі. Довести: 1)ВD і АС перетинаються; 2) ВО=ОD і АО=ОС.

Доведення:

1. Позначимо т. О – середину діагоналі ВD, продовжимо відрізок АО і відкладемо ОС  = АО.

 2. З ВОС і DОА:

ВО = ОD (за побудовою), ОС  = АО (за побудовою), ВОС = DОА (за властивістю вертикальних кутів).

Значить, ВОС  = DОА за 1 ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Таким чином, ОВС = ОDА – внутрішні різносторонні кути при ВС  і АD, і січній ВD.

3. Отже, ВС || АD.

4. ВС||АD (АВСD – паралелограм), значить, точки С і С збігаються (аксіома паралельності прямих і аксіома відкладання відрізків), паралелограм АВСD і чотирикутник АВС D – збігаються і

1)ВD і АС перетинаються; 2) ВО=ОD і АО=ОС (за побудовою).

  2 властивість)

Дано: АВСD -паралелограм. Довести: 1)АD = ВС, АВ = DС, 2) А = С, D = В.

Доведення:

1. Проведемо ВD – діагональ.

2. З ВСD і DАВ: АВD = СDВ (за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при АВ || DС і січній ВD), АDВ = СВD (за властивістю внутрішніх різносторонніх кутів при АD||ВС і січній ВD), ВD – спільна сторона.

Значить, ВСD = DАВ за 2 ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими до неї кутами). Отже, АD=ВС,

АВ=DС, А= С, D= В.

    3 властивість) – доведітьсамостійно в зошиті.

     4 властивість) – доведітьсамостійно в зошиті.

4. Ознаки паралелограма:

       1) якщо у чотирикутнику дві протилежні сторони рівні і паралельні,  то цей чотирикутник є паралелограм;

   2) якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл, то цей чотирикутник є паралелограм;

   3) якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник є паралелограм.

    До ведення:

1 ознака)

Дано: КОАМ – чотирикутник,      КО=МА, КО||МА. Довести: КОАМ – паралелограм.

Доведення:

    1. Проведемо діагональ МО.

    2. З МКО і ОАМ:

       КО = МА (за умовою), КОМ = ОМА (за властивістю    внутрішніх різносторонніх кутів при КО||МА і січній МО), МО – спільна сторона.

      Значить, МКО= ОАМ за 1 ознакою рівності трикутників (за    двома сторонами і кутом між ними).

    3. Таким чином, КМО = АОМ – внутрішні різносторонні кути   при МК і АО, і січній МО.

   4. МК || АО (за ознакою паралельності прямих).

   5. КОАМ – паралелограм (за визначенням).

   2 ознака) – доведітьсамостійно в зошиті.

    3 ознака) – доведітьсамостійно в зошиті.

5. Прямо кут ник (означення) – паралелограм, у якого всі кути прямі.

6. Властивості прямо кут ника:

     1) всі властивості паралелограма;

     2) діагоналі прямокутника рівні;

     3) відстань від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні.