Метод сравнения перемещений

Метод сравнения перемещений (деформаций) наиболее простой. Суть этого метода заключается в том, что дополнительные уравнения составляются из условий равенства нулю прогибов на опорах балки. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 6

Для балки, изображённой на рисунке 25, требуется определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М _Z

Рисунок 25 − Расчетная схема статически неопределимой балки

Балка имеет 4 опорные связи и является один раз статически неопределимой. Для определения неизвестных реакций М_А, R _А, H _А и R_B имеем только три уравнения равновесия статики:

1. ∑ Х = 0; (11)

откуда следует, что H _А = 0.

2. ∑ Y = 0; (12)

R _А − q ∙3+ R_B − F = 0;

R _А + R_B = 380.

3. ∑ М _B = 0; (13)

М_А + 6∙ R _А − q ∙3∙4,5 + M + F ∙2 = 0;

М_А + 6∙ R _А = 1310.

Дополнительное четвертое уравнение составим, исходя из условия, что на опоре В прогиб y_B равен нулю. Прогиб в опоре определим, используя универсальное уравнение упругой линии (метод начальных параметров), которое применительно к данной задаче имеет вид:

4. EI y_B = 0; (14)

EI y_B = EI y ₀+ EI φ₀∙ x + М_А ∙6²/2 + R _А ∙6³/6 − q ∙6⁴/24 + q ∙3⁴/24 + М ∙1²/2 = 0.

Так как качало координат помещено в защемлении, начальные параметры y ₀ = 0 и φ₀= 0, где y ₀ − прогиб балки при х = 0, φ₀− угол поворота сечения балки при х = 0.

С учетом этого уравнение (14) имеет вид

М_А + 2∙ R _А = 330.

Решая совместно уравнения (3) и (4), получим:

- откуда R _А = 245 кН, М_А = − 160 кHм.

Затем, подставив в уравнение (12) найденное значение реакции R _А, определим реакцию R_B = 380 – 245 = 135 кН.

Для проверки правильности вычисленных реакций составим уравнение

моментов всех сил относительно опоры А:

∑ m _А = −120∙3∙1,5 + 270 −135∙6 + 20∙8 = 0

Равенство нулю суммы моментов означает, что реакции определены

правильно. Определив значения реакций М_А, R _А, и R_B, можно приступить к

построению эпюр внутренних усилий.

На рисунке 26 приведены: схема балки, эпюры поперечных сил

Q_y, кН и изгибающих моментов М _Z, кНм.

Рисунок 26 − Расчет статически неопределимой балки.

Эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М _Z

Рассмотрим ещё один пример расчета статически неопределимой балки.

Пример 7

Определить размеры h, b прямоугольного поперечного сечения стальной балки (рисунок 27), если [σи] = 160 МПа, E = 2·105 МПа и h/b = 2. Определить прогибы посредине пролета балки и на конце консоли. Число неизвестных реакций 4, уравнений статики 3: балка один раз статически неопределима. Целесообразные уравнения статики:

;