Определение перемещений при плоском изгибе

 

Перемещения при плоском изгибе характеризуются прогибом y и углом поворота поперечного сечения φٕ, величины которых определяются из универсального уравнения изогнутой оси балки:

,

где    y ₀, φ₀ – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;

a, b –расстояние от начала   координат   до   сечения,  в      котором

приложен внешний   силовой  фактор   (F  и     m  или опорная реакция);

с   – расстояние от  начала      координат   до  начала   приложения

распределенной   нагрузки;

     d  – расстояние  от  начала  координат    до   конца   приложения

распределенной нагрузки (начала приложения компенсирующей распределенной нагрузки q _к);

     x  –   абсцисса рассматриваемого сечения.

При использовании универсального уравнения начало координат всегда выбирается на левом конце балки. Это уравнение получено путем интегрирования  дифференциального уравнения упругой линии балки:

где изгибающий момент в сечении x.

Поэтому знаки у слагаемых, включающих F, m  и   q,   будут определяться по правилу знаков для изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой части балкой. По этой же причине в уравнения включаются только те силовые факторы, которые находятся слева от сечения с координатой x. Если распределенная нагрузка q не действует до правого конца балки, ее действие надо продолжить до этого конца и, соответственно, приложить равнозначную компенсирующую нагрузку q _к, которая учитывается в уравнении с противоположным основной q знаком. На эту особенность надо обратить внимание, так как при построении эпюр Q и M  такой необходимости не возникало. Начальные параметры y ₀ и φ₀ определяются из условия, что на опорах прогибы равны нулю.

      Для проверки правильности построения упругой линии балки можно использовать соответствие знака кривизны упругой линии и знака . Если >0, то на этом участке выпуклость упругой линии будет направлена вниз, и наоборот.

Пример 5

 

    Определить прогибы в характерных сечениях балки (рисунок 21) и построить ее изогнутую ось.

Построение эпюр Q и M, а также подбор сечения балки проделайте самостоятельно. Принимается двутавр № 16, , .

Начало координат выбираем в крайнем левом сечении балки (на     опоре С). Балка имеет три участка нагружения: I, II, III (рисунок 21). Распределенная нагрузка   q действует только на участке II. Доводим распределенную нагрузку q  до конца балки  и  на этом участке III показываем компенсирующую (уравновешивающую) нагрузку.

Составим уравнение прогибов:

 

.

 

    Рассматриваемая балка имеет три участка нагружения. В уравнении прогибов отмечены участки, на которых учитывается каждый из силовых факторов. Слагаемые уравнения от соответствующего внешнего фактора имеют такой же знак, как и при определении изгибающего момента.

Начальные параметры y ₀ и φ₀ определим из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю.                

Рисунок 21 − Определение перемещений для двухопорной балки

При x = 0 .

При   x = 3 м    ,

откуда а  

Положительное значение  откладывается против хода часовой стрелки.

Определим прогибы в некоторых сечениях балки. 

При ,  

                     

Величину прогиба при  определите самостоятельно (получится         

     ).

В межопорной части балки максимальный прогиб будет примерно посередине пролета.

     При   х = 1,5 м ,

     При х =4,0м .                                                     

                        .

В некоторых случаях начало координат может быть выбрано на свободном конце балки. В этом случае  и  Начальные параметры y ₀ и φ₀ определяют из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю.            Если начало координат в опорном защемлении, то  и  

 

Задача 4

Плоский изгиб (консольная балка)

Для балки, изображенной на рисунке 22, данные к эадаче  приведены в таблице 7, необходимо:

 1. Определить опорные реакции.

      2. Написать выражения изгибающего момента М и поперечной   

            си­лы для Q каждого участка в общем виде.

      3. Построить эпюры М и Q.

      4. Подобрать балку круглого сечения из стали 20.

                                                                         Таблица 7

 Данные к задаче 4

 

Номер	Схема	l	а 1/ а	М	F	q
строки	По рис.5	М		кНм	кН	кН/м
1	1	1,1	1	10	10	1
2	2	1,2	2	20	20	2
3	3	1,3	3	3	3	3
4	4	1,4	4	4	4	4
5	5	1,5	5	5	5	5
6	6	1,6	6	6	6	6
7	7	1,7	7	7	7	7
8	8	1,8	8	8	8	8
9	9	1,9	9	9	9	9
0	10	2	10	15	15	10
	Е	Д	Б	Г	В	Е

Задача 5

              Плоский изгиб (консольная балка). Определение перемещений

    Используя результаты, полученные в задаче 6, для балки, изображен­ной на

рисунке 22, необходимо построить эпюру прогибов.

 

Рисунок 22 − Схемы балок к задаче 4

 

Задача 6

Плоский изгиб (двухопорная балка)

        Для балки, изображенной на рисунке 23, необходимо:

  1. Определить опорные реакции.

 2. Написать выражения изгибающего момента М и поперечной си­лы Q для  каждого участка в общем виде.

 3. Построить эпюры М и Q.

4. Подобрать балку двутаврового поперечного сечения при [σ]=160 МПа.                

 Если по данным задачи опоры оказываются в одной точке, следует вместо                

a ₁   взять 0,5 a ₁.   

                                                                                                               Таблица 8

Данные к задаче 8

Номер	Схема	l	a 1 / а	a 2 / а	M	F	q
строки	по рис. 6	м			кНм	кН	кН/м
1	1	6	1	9	10	10	1
2	2	7	2	8	20	20	2
3	3	3	3	7	3	3	3
4	4	4	4	6	4	4	4
5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6
7	7	7	7	7	7	7	7
8	8	8	8	8	8	8	8
9	9	9	9	9	9	9	9
0	10	10	10	10	15	15	10
	Е	Д	Б	В	Г	Д	Е

 

 

Задача 7

               Плоский изгиб (двухопорная балка). Определение перемещений

  Используя результаты, полученные  в задаче 8, для  балки,

изображенной на рисунке 23, необходимо построить эпюру про­гибов.

 

Рисунок 23 − Схемы балок к задаче 6