Средства Any Logic для построения моделей системной динамики. Модель развития эпидемии

С точки зрения математики в моделях системной динамики нет ничего, кроме переменных и констант, дифференциальных уравнений и функцио­нальных зависимостей. Поэтому формально для разработки таких моделей достаточно средств, которые позволяют строить модели динамических систем, с возможностью представления формул, алгебраических и дифференциаль­ных уравнений, а также различных функций (как встроенных, так и опреде­ляемых пользователем). Одной из типичных функций, широко используемых в моделях системной динамики (в частности, в задачах логистики), является функция задержки. Такая функция delay (х, t) включена в состав встроен­ных функций AnyLogic. Описание этой функции можно найти в справочни­ке классов (класс Func).

Поскольку AnyLogic включает все указанные выше средства, разработка мо­делей системной динамики на платформе AnyLogic происходит практически

так же, как и в специализированных инструментах, специально созданных для этой области. Однако есть существенная разница в подходах при разра­ботке моделей системной динамики и моделей динамических систем. Эта разница состоит в том, что разработчики моделей системной динамики мыслят не в терминах дифференциальных и алгебраических уравнений. Они мыслят совсем другими категориями. А именно, при создании модели они мыслят в терминах графических представлений поточных диаграмм, в терми­нах функциональных зависимостей переменных, структуры связей перемен­ных и вообще не используют терминологию дифференциальных уравнений.

Кроме того, с точки зрения системной динамики все системы, какими бы сложными они ни были, построены на замкнутых циклах обратной связи зависимостей переменных системы. Поэтому графическое отображение по­токовых диаграмм, а также связей переменных, на основе которых можно анализировать циклы зависимостей параметров, является для системной ди­намики важнейшим требованием.

В AnyLogic существуют средства, позволяющие эффективно разрабатывать модели системной динамики и графически представить потоковые диаграм­мы, связи и зависимости переменных системы. Мы рассмотрим эти средства и методику разработки системно-динамических моделей в AnyLogic на не­скольких примерах.

Модель развития эпидемии

На рис. 13.5 изображена модель развития эпидемии гриппа, описанная в разд. 13.1. Все элементы, представленные в поле редактора, вводятся как переменные. Переменные susceptible, infected и recovered, определяю­щие количества людей на разных стадиях болезни (еще не заболевшие, за­болевшие и выздоровевшие соответственно), являются накопителями в тер­минах системной динамики. Они определяются в модели AnyLogic как переменные вида "Интеграл или накопитель", а в поле редактора они будут автоматически представлены как стилизованные квадратики . Интен-

сивности get_sick и get_well определены как переменные, заданные формулами. В поле редактора их пиктограмма автоматически представляется в виде вентилей. Вспомогательные переменные системной динамики зада­ются переменными AnyLogic. Константы модели могут быть представлены также параметрами.

После щелчка по кнопке панели инструментов в окне редактора поя-

вятся стрелки, показывающие потоки, а также голубые стрелки, отражаю­щие зависимости между переменными модели (рис. 13.5). Эти отношения зависимостей в AnyLogic автоматически вычисляются на основании опреде­ления переменных, введенных разработчиком.

Рисунок 13.5 полностью идентичен рис. 13.1, на котором представлена та же модель, но построенная в традиционных пакетах моделирования. Построе­ние моделей системной динамики в AnyLogic удобно выполнять в два этапа. На первом в поле редактора помещаются все переменные, а на втором этапе для каждой переменной определяется ее вид и конкретная функциональная зависимость с помощью мастера функций — выпадающего окна, в котором появятся кроме стандартных функций еще имена переменных и параметров данного объекта, которые к этому времени были определены. Окно это от­крывается щелчком по кнопке мастера функций (рис. 13.6).

13.5. Пример модели, представляющей сложные взаимные зависимости переменных: модель Лоренца

Эта знаменитая модель была построена Эдвардом Лоренцем (Edward Lorenz [EL63]) для упрощенного описания процессов, происходящих в атмосфере и определяющих погоду. Модель описывает зависимости трех переменных переменная х задает интенсивность конвекции, y — это разница температур нисходящего и восходящего потоков, a z — изменение со временем верти­кальной температуры в некоторой точке пространства.

С формальной точки зрения модель Лоренца не представляет ничего слож­ного: это просто три переменных, взаимно связанных системой дифферен­циальных уравнений. Однако в ней присутствуют три различных петли об­ратных связей, что делает эту систему трудной для понимания и анализа (рис. 13.8).

Несмотря на кажущуюся простоту системы, аналитического решения у нее нет. Сложные взаимные связи переменных делают динамику модели весьма интересной. Во-первых, при некоторых начальных условиях модель описы-

вает так называемый детерминированный хаос — детерминированную модель, поведение переменных которой чрезвычайно хаотично (другое название мо­дели — аттрактор Лоренца). Во-вторых, эта модель демонстрирует высокую чувствительность к начальным условиям. Например, при определенных зна­чениях параметров (x=z=s=10, y=o, r=28, в=8/з) незначительные изменения в начальных условиях существенно меняют траектории переменных.

Поставим эксперимент. В модели Lorenz weather Model (она находится в папке Model Examples\Part IV) параллельно моделируются два идентичных процесса. Один процесс — с переменными (х, y, z), а другой — его копия с переменными (xi, yi, zi). В обеих моделях для всех переменных и парамет­ров установлены одинаковые указанные ранее начальные значения за ис­ключением начального значения z1, которое отличается от z=10 в десятом знаке, т. е. z1=10.00000001.

Эксперимент на рис. 13.9 показывает, что через некоторое время после старта значения x1 начинают существенно отличаться от значений х. Ло­ренц интерпретировал этот эффект так: даже взмах крыла бабочки где-нибудь в лесах Бразилии может через месяц вызвать ураган в Техасе. Лоренц назвал его эффектом бабочки. Другой вывод из этой модели состоит в том, что нельзя рассчитывать на точность долговременных прогнозов погоды: все измерения делаются с некоторой погрешностью, в пределах которой про­цессы в атмосфере могут развиваться со временем в совершенно различных направлениях. Иными словами, точность предсказаний погоды объективно ограничена.

Модели системной динамики, построенные для анализа реальных экономи­ческих и бизнес-процессов, процессов урбанизации, динамики народонасе­ления и т. п., обычно значительно сложнее этой модели Лоренца. Перекре­стное взаимное влияние процессов в них иногда может вызвать совершенно неожиданные эффекты, похожие на эффект детерминированного хаоса,

описываемый моделью Лоренца. Дж. Форрестер в работе [JF69] пишет о том. что большая корпорация, город, экономика, правительство — все это при­меры сложных систем, поведение которых в корне отличается от того, что мы обычно предполагаем из опыта наблюдения простых систем. Модель Лоренца демонстрирует возможность возникновения хаотического поведе­ния в подобных системах, в которых существуют перекрестные причинные связи переменных. Одна из задач моделирования — предсказать такие си­туации и ввести управления, предотвращающие хаотическое развитие про­цессов и направляющие их в желаемое русло.