Расчет перемещений железобетонных конструкций

 

Широкое применение сборных железобетонных конструкций из материалов высокой прочности и уточнение методов расчета привело к уменьшению размеров поперечного сечения элементов, а, следовательно, и снижению их жесткости и увеличению прогибов. Поэтому расчет деформаций (перемещений) приобрел в последние годы особо важное значение.

● Цель его состоит в ограничении прогибов конструкции до таких пределов, которые не могли бы нарушить эксплуатационных качеств конструкций:

где f — прогиб от расчетных нагрузок при γ_f = l; f_u — допустимый нормами предельный прогиб, установленный на основании технологических, конструктивных, эстетических и других требований, для подкрановых балок при ручных кранах f_u = l/500, при электрических l/600, для элементов перекрытия с плоскими панелями при l<6 м — l/200, при 6 м <l≤7,5 м — 3 см, при l>7,5 м — l/250 и т. п.

Определение прогибов упругих элементов, жесткость которых постоянна и не изменяет своего значения с изменением нагрузок и времени их действия, не вызывает затруднений. На деформации железобетонных конструкций оказывает влияние значительное число факторов, и определение их, особенно при наличии трещин в растянутой зоне бетона, является трудной задачей.

Испытания показывают, что железобетонная балка до образования трещин работает полным сечением и жесткость ее равна E_bI_red. После образования трещин балка в средней части будет разделена на отдельные блоки (рис. 7.3, а), связанные понизу арматурой, а поверху — бетоном сжатой зоны. Жесткость балки в середине пролета падает (рис. 7.3, б), на ее величину оказывают влияние не только геометрические размеры сечения, но и количество растянутой арматуры (рис. 7.3, в), ползучесть бетона, усадка и другие факторы. Это вызывает определенные сложности при определении жесткости сечений железобетонных элементов с трещинами в растянутой зоне. Нормы рекомендуют вычислять прогибы по кривизнам, используя методы строительной механики. Наиболее удобной зависимостью для определения прогибов является интеграл Мора

где _х — изгибающий момент в сечении х от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения; (l/r)_x — кривизна элемента в сечении х от нагрузки, при которой определяется прогиб.

Рис. 7.3. Влияние образования трещин и армирования

на жесткость железобетонной балки

 

Поскольку кривизна железобетонного элемента с трещинами в растянутой зоне изменяется не пропорционально внешнему изгибающему моменту, для определения прогибов эпюру кривизны l/r по длине элемента разбивают на несколько участков (не менее шести) и вычис­ляют интеграл перемещений (7.22) перемножением эпюр, пользуясь, например, правилом Верещагина. Такой путь достаточно трудоемок. Если же кривизну определять для наиболее напряженного сечения и принять, что она изменяется пропорционально изгибающему моменту вдоль оси элемента, то вычисленный при этом прогиб будет близок к фактическому. Такое допущение принято в нормах для элементов постоянного сечения. В этом случае формула (7.22) для однопролетной балки примет вид

 

где φ_m — коэффициент, зависящий от условий опирания и схемы загружения, для свободно опертой балки: при равномерно распределенной нагрузке φ_m = 5/48, при сосредоточенной нагрузке в середине пролета φ_m=l/12, при двух равных моментах по концам балки φ_m=1/8; l/r — кривизна элемента с трещинами или без трещин в растянутой зоне.

Для изгибаемых элементов при l/h<10 необходимо учитывать влияние поперечных сил на их прогиб [1]. В этом случае f_tot равен сумме прогибов, обусловленных деформациями изгиба f_m и деформациями сдвига f_q.

● Прогибы и кривизны железобетонных конструкций без трещин в растянутой зоне. Кривизна изгибаемого и внецентренно сжатого элемента без трещин в растянутой зоне определяется как для сплошного тела, при этом учитывается увеличение деформаций за счет ползучести бетона

где М — момент от тех нагрузок, для которых определяется кривизна; φ_b1 — коэффициент, учитывающий влияние на деформации элемента кратковременной (быстро-натекающей) ползучести, для тяжелого бетона φ_b1 = 0,85; φ_b2 — коэффициент, учитывающий влияние длительной ползучести, при кратковременных нагрузках φ_b2=1, при постоянных и длительных нагрузках в зависимости от влажности воздуха и вида бетона φ_b2=2...4,5.

К конструкциям, работающим без трещин в растянутой зоне, обычно относятся предварительно напряженные конструкции. В этом случае расчетный прогиб будет складываться из прогибов от усилий, создаваемых предварительным натяжением арматуры, и от эксплуатационных нагрузок: постоянных, длительных и кратковременных.

Рассмотрим свободно опертую балку постоянного сечения. После освобождения продольной арматуры с упоров балка получит обжатие и выгиб f₃ (рис. 7.4) от кратковременного действия усилий предварительного обжатия Р, определяемого с учетом всех потерь к рассматриваемому моменту. Тогда учитывая формулы (7.23) и (7.24), получим

где е_ор — эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р относительно центра тяжести приведенного сечения.

При длительном действии усилия предварительного обжатия выгиб балки вследствие ползучести и усадки возрастает на величину

где ε_b и ε_b — относительные деформации бетона, вызванные его усадкой и ползучестью, от усилия предварительного обжатия соответственно на уровне центра тяжести растянутой продольной арматуры и крайнего сжатого волокна бетона, ε_b = σ_b/E_s, ε′_b=σ′_b/E_s; σ_b — сумма потерь предварительного напряжения от усадки и ползучести бетона (σ₆, σ₈, σ₉) для растянутой арматуры; σ′_b — то же, для напрягаемой арматуры, если бы она имелась на уровне крайнего сжатого волокна бетона.

Рис. 7.4. К определению полного прогиба железобетонной балки,

работающей без трещин в растянутой зоне

 

После приложения длительных постоянной и временной равномерно распределенных по пролету нагрузок балка получит прогиб (см. рис. 7.4)

где М₂ — момент в балке от постоянной и временной длительной нормативной нагрузки.

От кратковременного действия нормативной нагрузки (φ_b2 = 1) балка получит дополнительный прогиб

Таким образом, полный прогиб и полная кривизна балки от усилия обжатия и внешней нагрузки таковы:

■ Прогибы и кривизны железобетонных конструкций с трещинами в растянутой зоне. Рассмотрим железобетонный элемент, подверженный чистому изгибу (рис. 7.5, а). Как указывалось выше, после появления трещин в растянутой зоне изгибаемый элемент будет разделен на отдельные блоки, которые соединяются между собой растянутой арматурой и сжатым бетоном. Нейтральная ось в таком элементе будет волнообразной, поскольку высота сжатой зоны над трещиной меньше, чем между трещинами (рис. 7.5, а). Напряжения в бетоне растянутой зоны около трещин равны нулю, а по мере удаления от них вследствие сцепления бетона с арматурой будут возрастать, достигая своего максимального значения на среднем участке между трещинами. Напряжения в растянутой арматуре будут, наоборот, наибольшими в сечении с трещиной, а по мере удаления от трещины уменьшаются за счет передачи растягивающего усилия на бетон (рис. 7.5, б).

Рис. 7.5. Схемы для определения кривизны оси

изгибаемого элемента с трещинами

 

Деформации укорочения бетона сжатой зоны (см. рис. 7.5, а) также неравномерны. Они имеют наибольшую величину над трещинами и существенно меньшую над серединами блоков.

Исходной характеристикой при расчетах перемещений служит кривизна, однако, определение ее истинных значений для каждого сечения в элементе с трещинами в растянутой зоне — задача сложная. В. И. Мурашев предложил при определении перемещений исходить из средней кривизны, которую выражал через средние относительные деформации арматуры ε_sm, средние деформации бетона сжатой зоны ε_bm и среднее положение нейтральной оси х_m.

Для получения выражения средней кривизны вырежем из балки прямоугольного профиля двумя параллельными сечениями элемент ds. После приложения нагрузки элемент примет вид, изображенный на рис. 7.5, г. Из подобия треугольников

где Δl_b и Δl_s — абсолютные деформации растянутой арматуры и сжатой грани бетона на участке ds.

Учитывая, что ε_sm=Δl_s/ds и ε_bm=Δl_b/ds, из (7.31) будем иметь

Для получения расчетных зависимостей выразим средние деформации арматуры и бетона ε_sm и ε_bm через соответствующие деформации и напряжения в месте трещины:

где ψ_s — коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона на участке между трещинами, ψ_s=ε_sm/ε_s; ψ_b — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций крайнего сжатого волокна бетона на участке между трещинами, ψ_b = ε_bm/ε_b = 0,9; E_b,pl—модуль деформации, E_b,pl=E_bv; v — коэффициент, учитывающий неупругие деформации бетона, при кратковременном действии нагрузки v = 0,45, при длительном действии v = 0,15 (см. гл. 1).

Подставляя (7.33) и (7.34) в (7.32), будем иметь

Напряжения в арматуре и бетоне в сечении с трещиной получим, принимая, как и ранее, прямоугольную эпюру напряжений в бетоне сжатой зоны (рис. 7.5, в):

где z—плечо внутренней пары; А_b — площадь сечения сжатой зоны бетона; для прямоугольного сечения А_b = bх_m.

Тогда выражение для средней кривизны примет вил

 

Из формулы (7.37) видно, что кривизна изгибаемого элемент, с трещинами в растянутой зоне зависит от размеров сечения, площади арматуры, она учитывает также работу бетона на растяжение на участках между трещинами, характеризуемую коэффициентом ψ_s, неравномерность деформаций бетона сжатой зоны на участках между трещинами, характеризуемую коэффициентом ψ_b, неупругие деформации бетона сжатой зоны, характеризуемые коэффициентом v. Значения коэффициентов ψ_s, и v определяют с учетом длительности действия нагрузки.

Если к элементу приложена также продольная сжимающая сила N_tot (или усилие предварительного обжатия), то формула (7.37) примет вид Ш

где М — заменяющий момент, равный моменту всех сил, действующих в сечении (включая N_tot), относительно центра тяжести растянутой арматуры.

Входящие в формулы (7.37) и (7.38) значения ψ_s и z определяют по эмпирическим зависимостям [1].

С течением времени кривизна элемента не остается постоянной, а изменяется в зависимости от величины и длительности нагрузки. В соответствии с этим полная кривизна

где (l/r) — кривизна от кратковременного действия всей нагрузки; (1/r)₂ — кривизна от кратковременного действия длительной нагрузки; (1/r)₃ — кривизна от длительного действия длительной нагрузки; (1/r)₄ — кривизна, обусловленная выгибом элемента вследствие усадки и ползучести бетона от усилия предварительного обжатия, определяемая по формуле (7.26).

Для элементов без предварительного напряжения последнее слагаемое в (7.39) равно нулю.

Полный прогиб железобетонного элемента

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:

 

1. В чем состоит цель расчета по образованию и раскрытию трещин?

2 Охарактеризуйте категории трещиностойкости.

3 Каковы основные предпосылки, принимаемые в расчете

по образованию трещин?

4. Расчет трещинообразования центрально растянутых элементов

5. Выведите формулы для расчета по образованию трещин изгибаемого

элемента. 6.

На основании каких предпосылок производится расчет по раскрытию

трещин? Какие факторы влияют на ширину раскрытия трещин?

7. Особенности расчета предварительно напряженных конструкций

по закрытию трещин

8. Цель расчета по перемещениям.

9. Факторы, влияющие на прогибы железобетонных изгибаемых элементов при отсутствии и наличии трещин в растянутой зоне.

10. Из чего складывается полный прогиб и кривизна элементов

при отсутствии трещин в растянутой зоне? Запишите расчетные формулы.

11. Предпосылки, заложенные в основу определения кривизны изгибаемого элемента с трещинами в растянутой зоне.

12. Выведите формулу для определения кривизны изгибаемого

элемента с трещинами в растянутой зоне.

13. Как определяется полная кривизна железобетонного элемента

с трещинами в растянутой зоне?