Зависимость между скоростью звука и скоростями течения сжимаемой жидкости

 

Рассмотрим особенности потоков с до- и сверхзвуковыми скоростями движения (течения).

Для установления указанных зависимостей воспользуемся уравнением Д.Бернулли для одномерного изоэнтропического движения потока идеального газа, записанного в виде

Если учесть, что скорость звука в идеальном газе равна

,

то уравнение примет вид

Из последнего уравнения видно, что скорость звука a в газовом потоке связана со скоростью течения потока газа w. При скорости течения газа w = 0 (газ находятся в покое - в заторможенном состоянии) скорость звука в нем имеет наибольшее значение:

где р _o  и r _o - соответственно, абсолютное давление и плотность газа, находящегося в покое (в заторможенном состоянии).

Скорость a_o называют скоростью звука при торможении.

Уравнение Бернулли теперь можно записать в виде:

С увеличением скорости потока w скорость звука, как это следует из последнего уравнения, уменьшается и в некотором сечении потока они могут оказаться равными.

Скорость потока, равная местной скорости звука в нем, называется критической и обозначается w_кр. Скорость звука в этом случае также называется критической и обозначается a_кр. Уравнение Бернулли принимает вид:

Используя уравнения можно установить связь между скоростью звука при торможении a_o и критической скоростью звука a_кр. Приравняв правые части двух предыдущих уравнений, получим:

откуда

При очень большой скорости течения потока w скорость звука, как это видно из уравнения Бернулли, может обратиться в нуль. Это может быть тогда, как это следует из формулы для скорости звука (см. стр.),когда абсолютная температура газа Т будет равна нулю. Скорость газового потока в этом случае называют максимальной w_макс или предельной w_пред. Уравнение Бернулли в этом случае примет вид:

На основании вышеизложенного уравнение Д.Бернулли можно представить так:

откуда

Т.о. если критическая скорость звука a_кр примерно на 10% меньше скорости звука a_o в покоящемся воздухе при атмосферном давлении, то максимальная скорость течения его w_макс (при истечении в пустоту) более чем в два раза превышает a_o.

Для установления подобных же зависимостей для одномерного изоэнтропического движения потока воды надо воспользоваться уравнением Д.Бернулли:

и учесть что скорость звука в воде равна

Получим:

;

Изложенное свидетельствует о тесной зависимости между скоростью звука и скоростью течения сжимаемых жидкостей, и это обстоятельство широко используется при производстве расчетов.