Графический способ определения величины суммарного давления жидкости на плоскую поверхность и положения центра давления

Графическое изображение распределения давления покоящейся жидкости по какой-либо поверхности называется эпюрой гидростатического давления (рис. 2.8). Закон распределения давления в покоящейся жидкости определяется основным уравнением гидростатического давления

 .

Из уравнения видно, что давление p является линейной функцией глубины h погружения точки под уровнем свободной поверхности (p_o=const; g=const). Значит давление p=f(h) изменяется с глубиной по закону прямой линии. Указанное свойство гидростатического давления позволяет весьма просто строить эпюру давления.

Построим эпюру гидростатического давления для простейшего случая – избыточного давления жидкости на плоскую прямоугольную стенку (рис. 2.8).

Избыточное давление в каждой точке стенки определяется выражением p_изб = g.h и равно:

- p_изб = 0 – на свободной поверхности при h =0;

- p_изб = g.H у дна при h = H.

Суммарное давление жидкости на всю поверхность равно площади эпюры давления, умноженной на ширину b данной прямоугольной поверхности:

Положение центра давления определяется положением центра тяжести эпюры, через который пройдет сила P суммарного давления. Необходимо провести через центр тяжести эпюры перпендикуляр к поверхности, точка пересечения его с поверхностью будет центром давления.

Эпюры дают возможность наглядно представить нагрузку от жидкости на ту или иную поверхность и широко используются при решении практических задач. Способ определения величины суммарного давления жидкости на основе эпюры давления называется графоаналитическим.

2.3. СУММАРНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

 

Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность определяется из выражения (рис 6.4)

                                 (2.14)

где Р_г - горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность;

где Р_в - вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность.

(6 – 5)

Выражение (6 – 5) аналогично формуле определения избыточного суммарного давления на плоскую поверхность, которой в данном случае является вертикальная проекция F_в криволинейной поверхности.

Т.о. горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность равна суммарному давлению жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности.

                                  (2.15)

Здесь объем W, ограниченный данной криволинейной поверхностью; вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие данной цилиндрической поверхности, а также двумя вертикальными плоскостями, проходящими через ее крайние направляющие; горизонтальной плоскостью, совпадающей со свободной поверхностью жидкости, называется телом давления.

Т.о. из выражения (2.15) следует, что вертикальная составляющая суммарного давления жидкости цилиндрическую криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления.

В зависимости от формы и ориентировки криволинейной поверхности может быть действительным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, смоченной жидкостью; фиктивным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, не смоченной жидкостью.

Если тело давления действительное, вертикальная составляющая направлена вниз, если фиктивное – вверх.

Т.е. вертикальная составляющая всегда направлена от жидкости к поверхности (в соответствии с первым свойством гидростатического давления).

Точка приложения силы суммарного давления (центр давления) расположена на пересечении линии действия силы с криволинейной поверхностью.

Чтобы найти центр давления необходимо знать линии действия обеих составляющих суммарного давления, которые пройдут через центры тяжести эпюры горизонтальной составляющей и тела давления (рис. 2.9).

Если построить прямоугольник сил в точке пересечения линий действия составляющих суммарного давления, найдем линию действия силы суммарного давления P. Точка ее пересечения с криволинейной поверхностью и есть центр давления (точка ЦД на рис. 2.9).

 

Рис. 2.9

 

Угол наклона b силы P к горизонту можно определить из соотношения

                                          (2.16)

В частном случае, когда цилиндрическая поверхность представляет собой часть прямого кругового цилиндра (рис. 2.10), сила суммарного давления жидкости P проходит через центр окружности являющейся направляющей цилиндрической поверхности, так как все элементарные силы dP проходят через ее центр.

Линию действия силы суммарного давления P можно найти, построив прямоугольник сил в центре окружности, или проведя через центр окружности прямую линию под углом b к горизонту.

Рис. 2.10

 

2.4. РАВНОВЕСИЕ ГАЗА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

 

Равновесие газа

Дифференциальные уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидко­сти или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри за­нимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости.

Действи­тельно при Х=0, У=0 и Z=- g.

dp =- pgdz; (2.17)

p=-ρgz+C.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на поверхности земли z=z₀ и р=р₀, получим уравнение

р = p₀ + ρg (z₀-z), (2.18)

                                              

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

 

где z - расстояние от плоскости сравнения 0'-0' до рассматривае­мой точки (высота точки М); z₀ - расстояние от плоскости сравне­ния 0'-0' до поверхности с заданным давлением р=р_0.

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле си­лы тяжести изменение давления будет, так же как и в ка­пельной жидкости, определяться только изменением рас­стояния от плоскости сравнения до рассматриваемой точ­ки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшает­ся, так как в выбранной системе координат z>z₀.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения внутреннего состояния газа.

2.5. СИЛА АРХИМЕДА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ

Закон Архимеда

 

Закон Архимеда - это закон, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) поддерживающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объёма (рис. 2.12).

(2.19)

где W – объем погруженного тела.

Рис. 2.12. Поддерживающая сила

 

Сила F называется поддерживающей силой; ее также называют также архимедовой, или силой водоизмещения, или гидростатической подъёмной силой.

Если вес тела P меньше поддерживающей силы F, тело всплывает на поверхность жидкости до тех пор, пока вес вытесненной погруженной частью тела жидкости не станет равным поддерживающей силе. Если вес тела больше поддерживающей силы, тело тонет; если же вес тела равен поддерживающей силе, тело плавает внутри жидкости

Плавание тел

 

Плавание тел – это состояние равновесия твёрдого тела, частично или полностью погруженного в жидкость (или газ). Основная задача теории плавания тел - определение положений равновесия тела, погруженного в жидкость, выяснение условий устойчивости равновесия. Простейшие условия плавания тел указывает закон Архимеда.

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V - объем плавающего тела; ρ _m - плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.2.14).

 

Рис. 2.14. Поперечный профиль судна

 

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным - в противном случае.

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;

2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;

3) если h <0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна.

 

 

2.6. ПОВЕРХНОСТИ РАВНОГО ДАВЛЕНИЯ

 

Основные определения

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.