Примеры решения задач по квантовой механике

 

       Задача. Найдите частоту красной границы фотоэффекта для металла, если при энергии падающих фотонов 6,6 эВ максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов составляла 4,2 эВ. Постоянная Планка h = 6,6×10^-34 Дж×с, е = 1,6×10^-19 Кл. Ответ: 5,8×10¹⁴ Гц.

 

       Решение.

       Чтобы найти частоту красной границы фотоэффекта, нужно знать работу выхода электронов из металла. Работу выхода найдем из уравнения Эйнштейна:

 

 

Приравняв работу выхода к минимальной энергии фотонов, получим

 

 

 

 

       Задача. Найдите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вылетающих из металла с работой выхода 5 эВ под действием излучения с длиной волны 200нм. Заряд электрона равен 1,6×10^-19 Кл. Постоянная Планка h = 6,6×10^-34Дж×с. Ответ: 1,3×10⁶ м/с.

 

       Решение.

       Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов из уравнения Эйнштейна:

 

 

 

       Задача. Рассмотрите все способы распределения двух частиц по двум состояниям для случаев: а) частицы квантовые с целочисленным спином; б) частицы квантовые с полуцелым спином. Ответ: 3 способа, 1 способ.

       Решение.

       Квантовыечастицыс целочисленным спином являются бозонами, и в любом квантовом состоянии могут находиться в любом числе.

       Сначала будем их размещать по одной частице в ячейке. Имеем один способ.

 

       Теперь по две частицы в ячейке. Сначала в одной, потом в другой. Имеем еще два способа.

 

 

       Квантовыечастицы с полуцелым спином являются фермионами, и в любом квантовом состоянии могут находиться только в единственном числе.

       Их можно разместить только по одной частице в ячейке. Имеем один способ.

 

       Итак, две квантовые частицы с целочисленным спином по двум состояниям можно разместить тремя способами, а две квантовые частицыс полуцелым спином – одним способом.

 

 

ЗАДАЧИ ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ

 

       Задача. Посчитайте внутреннюю энергию некоторого количества данного газа.

       Решение.

       Внутренняя энергия заданного числа молей газа зависит только от температуры газа и вычисляется по формуле

 

где  – число степеней свободы молекулы данного газа. Это число зависит от количества атомов в молекуле газа.

 

Число атомов	1	2	3
	3	5	6

 

 

       Задача. Посчитайте изменение внутренней энергии некоторого количества данного газа.

       Решение.

       Изменение внутренней энергии заданного числа молей газа зависит только от температуры газа и вычисляется по формуле

 

 

       Задача на вычисление работы газа , количества подведенного к нему тепла  и изменения его внутренней энергии .

       Решение.

       Эта задача предполагает применение уравнения первого начала термодинамики

Все величины в этом уравнении могут быть как положительными, так и отрицательными.

       Если газ получает тепло, , если газ отдает тепло, . В адиабатномпроцессе по определению .

       Если газ нагревается, , если газ остывает, . В изотермическом процессе .

       Если газ расширяется, , если газ сжимается, . В изохорическом процессе .