Методические указания к решению задачи 2

Если непрерывная функция f (x) принимает на концах отрезка [ a, b ]  значения разных знаков, то есть f (а)* f (b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень. Этот корень будет единственным, если производная f ¢ (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a, b).

Пример. Требуетсяотделить корни уравнения x ⁴ - x ³ - 2 x ² +3 x – 3 = 0

Составим таблицу знаков функции f (x), полагая x равным:

a) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним;

b) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Вычислим: f ¢ (x) = 4 x ³ - 3 x ² - 4 x + 3

Находим корни производной: x = -1, x = 1, x =3/4

В этих же точках, которые называются точками перегиба, функция имеет экстремумы.

Используя найденные значения корней, проверим значение функции в промежутках между ними.

 

x	- ¥	- 1	3/4	1	+ ¥
знак f (x)	+	-	-	-	+

Из таблицы видно, что функция меняет знак два раза, значит, уравнение имеет два действительных корня:

x ₁ Î (- ¥, -1), x ₂ Î (1, + ¥).

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

 

x	- 2	- 1	1	2
знак f (x)	+	-	-	+

Следовательно, x ₁ Î (- 2; -1), x ₂ Î (1; 2).

Используя процедуру Поиск решения, найдем все корни уравнения x ⁴ - x ³ - 2 x ² +3 x – 3= 0

Значение х запишем в ячейку А1, в ячейку В1 напишем формулу для вычисления f (x), выполним команду Сервис – Поиск решения, запишем в окне диалога ограничения на значения интервала решения.

Нажав кнопку Выполнить, найдем значение первого корня.

Аналогично можно найти значение второго корня и три значения функции в точках экстремумов.

 

ЗАДАНИЕ:

Найти решение следующих пяти задач в табличном процессоре MS Excel согласно варианту. Решение, все его шаги и используемые формулы описать в пояснительной записке к каждой задаче домашнего задания (возможно принтование экранов Excel с решением и кратким пояснением в доступном для чтения масштабе).

ЗАДАЧА 1

1. Вычислить значения функции  для всех значений переменной х на отрезке [ a; b ]  с шагом h при заданном значении k.

Решение должно быть получено в виде таблицы:

№	x	k	f(x)	y(x)

2. На основании данных таблицы построить совмещенные графики функций f (x) и y (x).

ВАРИАНТЫ

№	a	b	h	k	f(x)
1	1	1,5	0,05	5	sin(x) - 1/x
2	-1	0	0,1	4	cos(x) - 1/(x+2)
3	1	1,2	0,02	3	4x2 - cos(x) – 4
4	0	1	0,1	2	cos(x) + 1/(x-2)
5	-1	0	0,1	9	ex + 2sin(x)
6	-1	0	0,1	7	x + 1/(x2+1)
7	-1	0	0,1	8	ex + x
8	-2	-1	0,1	6	cos(x)-1/(x-2)
9	1	2	0,1	4	e -x   - ln(x)
10	0	1	0,1	7	e -x   - x
11	0	1	0,1	3	cos(x) - x2
12	-2	0	0,2	4	x3 - x2 + 3

ЗАДАЧА 2

1. Отделить корни алгебраического или трансцендентного уравнения f (x)=0, предварительно проанализировав область определения аргумента x.
2. Используя процедуру Поиск решения найти:

все корни данного уравнения, все имеющиеся экстремумы (минимальные и максимальные значения) данной функции.

3. Построить график функции f (x) на конечном отрезке.

 

ВАРИАНТЫ

 

№ варианта	Уравнение f (x)=0
1	x 3 - 3 x 2 - 4 x + 1=0
2	x 3 – 21 x + 7=0
3	10 x = e - x
4	2 x 3 + 2 x -1=0
5	x 3 - 3 x – 1=0
6	x3 - 3x2 +1 = 0
7	x3 +6x2 + 9x+ 1= 0
8	e-x = 2 – x2
9	x3 - 12x + 5=0
10	x3 - 2x +4=0
11	x3 + x2 + 2 = 0
12	x3 - x2 – 2 = 0

ЗАДАЧА 3

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений Ax = b с использованием математических функций для нахождения обратной матрицы A ^-1 и произведения матриц A ^-1 * b.
2. Выполнить проверку найденного решения путем перемножения матриц A и x и сравнения полученного значения с b.

ВАРИАНТЫ

№ варианта	Матрица коэффициентов системы А	Столбец свободных членов b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 2

 

 

ЗАДАЧА 4

2. Расчет накопительного фонда для обучения производится по формуле:             

S = V ₀ · (1 + P) ^N , где V ₀ - размер вклада (в рублях), который будет помещён в банк на определенный срок N (количество лет) под заданный процент P.

3. Вычислить: