К записи в безразмерных переменных

На рисунке показана поверхность твердого тела, омываемая не-сжимаемой жидкостью, температура и скорость которой вдали от тела постоянны и равны соответственно t₀ и w₀.

К постановке краевой задачи конвективного теплообмена

 

Размер тела l _о задан. 

Температура  поверхности тела равна t_c. Для определенности примем, что t_c>t_o. Будем полагать, что физические параметры жидкости постоянны (учтем только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Теплота трения не учитывается.Рассматриваемый процесс является стационарным. Расположим оси координат так, как показано на рисунке. Для простоты примем, что ось О_у нормальна к поверхности тела, а ось О_х направлена вдоль тела и вертикальна.                                                                                   

При этом g_x = g, а проекции вектора сил тяжести (или подъемной силы) на оси О_у и О_z будут равны нулю (g_y=g_z = 0). Размер тела вдоль оси О_z намного больше l_о.

При принятых условиях поля температур и скоростей можно описать дифференциальными уравнениями в приближении пограничного слоя. Учтем дополнительно подъемную силу ρ·g·β·V, считая ее соизмеримой с вязкостным членом μ{d²w_x/dy²). Введем также обозначение θ= t – t₀, где t₀ – температура жидкости (заметим, что dt= dθ, так как t₀ = const).

 

Уравнение энергии

Уравнение движения

Уравнение сплошности

Напишем граничные условия

1) Вдали от тела (у = ∞) θ_x = θ_y = 0; w_x= w₀; w_y= 0.                 

2) На поверхности тела (у = 0, 0<= x <=l₀, - ∞ < z < +∞)

θ = θ_c = t_c — t₀ = const; w_x = w_y= w_z = 0.                             

В уравнениях и условиях однозначности можно различить три вида величин:

независимые переменные – это координаты х, у;

зависимые переменные – это θ, wx и wy, они однозначно определяются значениями независимых переменных, если заданы величины, входящие в условия однозначности;

постоянные величины – это w₀, t₀,l_о, θ_с, v, a, gβ и др., они задаются условиями однозначности и для определенной задачи являются постоянными, не зависящими от других переменных, от задачи к задаче они могут меняться. Постоянными эти величины называют потому, что они не являются функцией независимых переменных.

Величины, содержащиеся в уравнениях и условиях однозначности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных величин.

Для приведения к безразмерному виду выберем масштабы приведения. В качестве масштабов удобно принять постоянные величины, входящие в условия однозначности. Для линейных величин выберем какой-либо характерный размер, например длину поверхности теплообмена l_о, для скорости w₀, для температуры θ_с.

Обозначим безразмерные величины

                   X=x/l₀, Y=y/l₀, W_x=w_x /w₀, W_y=w_y/w₀, Θ= θ/θ_c

                 Тогда x = l₀ ·Х, y = l₀ ·Y, w_x = W_x w₀, w_y= w₀W_y, θ= θ_cΘ. (3.1)   

Подставим в уравнения значения величин согласно равенствам (3.1). Преобразуем уравнение энергии 

 

В результате подстановки равенств после умножения левой и правой частей уравнения энергии на l0 2 /a будем иметь

 

Аналогично преобразуем и уравнение движения. После подстановки равенства (3.1) в уравнение движения умножим его на l²_o/(v ·w₀).

В результате получим

 

Сделаем следующее преобразование комплекса, входящего в последнее уравнение:

 

Учитывая эти преобразования, окончательно получаем:

После преобразования уравнения сплошности получим

 

Приводя к безразмерному виду граничные условия, получаем:

1) Вдали от тела (У=∞) Θ=0, W_x=1, W_y=0.                             (3.2)

2) На поверхности тела (У=0, 0<= x < =1).                              (3.3)

                     Θ=Θ_c=1, W_x= W_y=0.

Из условий (3.2) и (3.3) следует, что, несмотря на то что величины и другие, входящие в размерные граничные условия могут иметь различные числовые значения, каждая из безразмерных величин θ_c, θ₀ и др. имеет в рассматриваемом случае вполне конкретное числовое значение.

При известном температурном поле коэффициент теплоотдачи может быть определен по уравнению

 

Приводя к записи в безразмерных переменных α ⋅l₀/λ,получаем