Лекция13. Приложения операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

x ⁽ⁿ⁾ + a ₁ x ^{(n - 1)} + a ₂ x ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} x ′ + a_nx = f (t),
x (0) = x ₀, x ′ (0) = x ₁, x ″ (0) = x ₂, …, x ^{(n -1)} (0) = x_{n -1}.

Начальные условия в этой задаче заданы в точке t ₀ = 0. Если начальные условия задаются в другой точке t ₀ ≠ 0, то заменой аргумента u = t - t ₀ их сдвигают в точку u ₀ = 0.
Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x (t), её производные до n -го порядка, правая часть f (t) являются функциями-оригиналами, и x (t) X (p). Тогда x ′(t) p X (p) − x (0) = p X (p) − x ₀, x ″(t) p ² X (p) − p x ₀− x ₁, …, x ⁽ⁿ⁾(t) p ⁿX (p) − p^{n - 1} x ₀ − p^{n - 2} x ₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1}, и изображение задачи будет иметь вид p ⁿX (p) − p^{n - 1} x ₀ − p^{n - 2} x ₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1} + a ₁(p ^{n - 1} X (p) − p^{n - 2} x ₀ − p^{n - 3} x ₁ − … − x _{n - 2}) + … + a _{n - 1}(p X (p) − x ₀) + a _nX (p) = F (p), где F (p) f (t) - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X (p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X (p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.
Пример. Найти решение задачи Коши x ″ − 2 x ′ + x = e ^t, x (0) = 1, x ′(0) = 2.
Решение. Пусть x (t) X (p). Тогда x ′(t) p X (p) − x (0) = p X (p) − 1, x ″(t) p ² X (p) − p − 2, , и изображение задачи имеет вид . Находим X (p): . Обращаем это изображение: , . Решение задачи: .
2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта x ″ − 2 x ′ + x = e ^t, x (0) = C ₁, x ′(0) = C ₂, изображение будет иметь вид . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения x _{общ. одн.} = С ₁ e ^t + (С ₂ − С ₁) t e ^t и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения.
3. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если найдено общее решение уравнения, оно может быть использовано для решения краевой задачи. Пусть, например, задана краевая задача x ″ − 2 x ′ + x = e ^t, x (1) = x ₁, x ′(3) = x ₂, где x (1), x (2) - известные числа. Так как общее решение уже известно: , остаётся найти значения произвольных постоянных, при которых выполняются краевые условия: следовательно, решение краевой задачи равно

4. Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу x ″ − 2 x ′ + x = e ^t, x (0) = 1, x ′(0) = 2, где f (t) - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т:
Изображение первого периода мы нашли в 20.2.4.1: ; изображение всей правой части, согласно разделу 20.2.4.3. Периодические функции, равно ; изображение уравнения . Оригиналы для первых двух слагаемых выписываются просто; для обращения последнего слагаемого представим произведение в виде , множитель развернем в геометрическую прогрессию , тогда , следовательно, . Оригинал для каждого слагаемого этой суммы обозначим f _k (t), по теореме запаздывания ; так как . Таким образом, решение всей задачи имеет вид .
5. Формулы Дюамеля. При решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения согласно тому порядку действий, который изложен выше, необходимо находить изображение правой части уравнения, что в некоторых случаях может быть затруднительно или вообще невозможно. Формулы Дюамеля позволяют находить решение, не выписывая в явной форме изображение правой части. Они основаны на интегралах Дюамеля, ,
.
Рассмотрим, наряду с полной задачей
x ⁽ⁿ⁾ + a ₁ x ^{(n - 1)} + a ₂ x ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} x ′ + a_nx = f (t),
x (0) = x ₀, x ′ (0) = x ₁, x ″ (0) = x ₂, …, x ^{(n -1)} (0) = x_{n -1},
для функции x (t) вспомогательную задачу для функции z (t):
z ⁽ⁿ⁾ + a ₁ z ^{(n - 1)} + a ₂ z ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} z ′ + a_nz = 1,
z (0) = 0, z ′ (0) = 0, z ″ (0) = 0, …, z ^{(n -1)} (0) = 0.
Особенность этой вспомогательной задачи - простая правая часть (f (t) = 1) и однородные (нулевые) начальные условия. Её изображение имеет вид p ⁿZ (p) + a ₁ p ^{n - 1} Z (p) + a ₂ p ^{n - 2} Z (p) + … + a _{n - 1} pZ (p) + a _n Z (p) = 1/ p . Обратить это изображение можно любым методом: с помощью свёртки, по второй теореме разложения (все особые точки - полюса), или разложив дробь на простые слагаемые.
Рассмотрим ещё одну вспомогательную задачу для функции z ₁(t):
z ₁ ⁽ⁿ⁾ + a ₁ z ₁ ^{(n - 1)} + a ₂ z ₁ ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} z ₁ ′ + a_nz = 1,
z ₁(0) = 0, z ′₁ (0) = 0, z ″₁ (0) = 0, …, z ₁ ^{(n -1)} (0) = 0,
которая отличается от общей задачи однородными начальными условиями, а от первой вспомогательной задачи - общим видом правой части. Её изображение имеет вид p ⁿZ ₁(p) + a ₁ p ^{n - 1} Z ₁(p) + a ₂ p ^{n - 2} Z ₁(p) + … + a _{n - 1} pZ ₁(p) + a _n Z ₁(p) = F (p) ⇒ .
Сравнивая функции Z (p) и Z ₁(p), получаем Z ₁(p) = pF (p) Z (p). В соответствии с интегралами Дюамеля,
, или (так как z ₁(0) = 0).
Эти формулы, выражающие решение задачи с произвольной функцией f (t) и однородными (нулевыми) начальными условиями через решение задачи с f (t) = 1 и такими же граничными условиями, называются формулами Дюамеля.
Наконец, чтобы учесть общий вид начальных условий, рассмотрим третью вспомогательную задачу (относительно функции y (t) - с нулевой правой частью:
y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n - 1)} + a ₂ y ^{(n - 2)} + … + a_{n - 1} y ′ + a_ny = 0,
y (0) = x ₀, y ′ (0) = x ₁, y ″ (0) = x ₂, …, y ^{(n -1)} (0) = x_{n -1}, p ⁿY (p) − p^{n - 1} x ₀ − p^{n - 2} x ₁ − … − p x _{n - 2} − x _{n - 1} + a ₁(p ^{n - 1} Y (p) − p^{n - 2} x ₀ − p^{n - 3} x ₁ − … − x _{n - 2}) + … + a _{n - 1}(p Y (p) − x ₀) + a _nY (p) = 0
. Обращая это изображение, находим функцию Y (t) решение третьей задачи. Теперь решение x (t) полной задачи равно сумме полученного по одной из формул Дюамеля решения z ₁(t) второй вспомогательной задачи (с общей правой частью и однородными (нулевыми) начальными условиями) и решения y (t) третьей вспомогательной задачи (с однородным уравнением и общими граничными условиями).
Пример. x ″ + x = tg t, x (0) = 1, x ′(0) = 2.
Решение. Функция tg t не является оригиналом (разрывы второго рода), поэтому найти её изображение невозможно. Решаем задачу с f (t) = 1и однородными начальными условиями: , по формуле Дюамеля находим решение задачи с f (t) = tg t и нулевыми начальными условиями: .
Наконец, решаем однородное уравнение с заданными начальными условиями: . Решение исходной задачи - сумма двух последних функций: .
6. Решение систем линейных уравнений. Системы решаются так же, как и отдельные уравнения, поэтому сразу рассмотрим пример.
Найти решение системы удовлетворяющее условиям: x (0) = 1, x ′(0) = 2, y (0) = 0, y ′(0) = 1 при t = 0.
Решение. Пусть x (t) X (p), y (t) Y (p). Тогда x ′(t) p X (p) − 1, y ′(t) p Y (p), x ″(t) p ² X (p) − p − 2, y ″(t) p ² Y (p) − 1, и изображение задачи имеет вид
Решаем эту систему относительно X (p), Y (p): из первого уравнения вычитаем второе, умноженное на р: (после разложения на простые дроби) ;
Если на р умножить первое уравнение и вычесть второе, получим . Итак, решение задачи

.