Лекция 12. Обращение преобразования Лапласа.

1. Формула Римана-Меллина. Если функция F (p) - изображение функции-оригинала f (t), то f (t) может быть найдена по формуле
.
Это равенство имеет место в каждой точке, в которой f (t) непрерывна. В точках разрыва функции f (t)значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой p = σ + i ω, σ = const> σ₀, − ∞ < ω < ∞, и интеграл понимается в смысле главного значения: .
Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.
2. Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.
Примеры. 1. . Представляя изображение в виде и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал .
2. . Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала: , , .
Можно решить этот пример с помощью свёртки: , . Однако проще всего представить F (p) в виде суммы простых дробей .
3. Первая теорема разложения. Если точка p = ∞ является нулём функции F (p), F (p) аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки p = ∞ имеет вид , то функция F (p) есть изображение функции .
Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и .
Примеры. 1. . Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции F (p) в окрестности точки p = ∞: .
2. . Здесь .
4. Вторая теорема разложения. Пусть функция F (p) комплексной переменной р аналитична во всей плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек p ₁, p ₂, p ₃, …, p_n, расположенных в полуплоскости Re p < σ₀. Если , и F (p) абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой Re p = σ, σ > σ₀, то F (p) является изображением, и .
Док-во. Сведём интеграл в формуле Римана-Меллина к интегралу по замкнутому контуру. Контур Γ составим из отрезка AB прямой Re p = σ, σ > σ₀, и дуги C_R окружности | p | = R, расположенной слева от отрезка и содержащей внутри себя все особые точки функции F (p). По основной теореме о вычетах . , поэтому . Устремим R → +∞. По лемме Жордана ; а для второго интеграла получаем , поэтому в пределе .
Применим эту теорему для обращения изображения . Функция F (p) · e ^pt имеет три особых точки: p = 0 (полюс второго порядка) и (простые полюсы), поэтому . Находим вычеты: ; ; ; .
Если F (p) - несократимая дробно-рациональная функция: и R _m₂ - многочлены соответствующих степеней, и точка p _k - полюс порядка ν _k, т.е. точка p _k - нуль порядка ν _k знаменателя R _m₂, то . Производную произведения представим по формуле Лейбница: , , поэтому .
Если все особые точки дробно-рациональной функции F (p) - простые полюса, т.е простые нули знаменателя R _m₂, то эта формула существенно упрощается: , и .
Пример: . Здесь знаменатель R ₄ (p) = (p − 2)(p + 3)(p ² + 4) = (p − 2)(p + 3)(p − 2 i)(p + 2 i) = p ⁴ + p ³ − 2 p ² + 4 p + 24 имеет только простые нули, R ′₄ (p) = 4 p ³ + 3 p ² − 4 p + 4, поэтому .