Множество Rn. Линейная зависимость, независимостьвекторов. Базис в пространстве Rn.

Лекция 2Векторы.

Rⁿ – это множество, элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел (а₁, а₂, …, а_n) =` a, которые будем называть “векторами”.

В Rⁿ определены операции: сложение векторов и произведение векторов на числоаналогично матричным операциям..

Определение 2.1. Линейной комбинацией векторов

` а<sub>1</sub>, ` а ₂, ¼, ` а _n с коэффициентами l ₁, l ₂, ¼, l _n называется вектор

`b = l <sub>1</sub> ` a ₁ + l ₂ ` a <sub>2</sub> + ¼ + l <sub>n</sub> ` a _n.

Определение2.2. Система векторов {` а<sub>1</sub>, ` а ₂, ¼, ` а _n } называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных. В противном случае она называется линейно независимой (то есть ни один из векторов данной системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных).

Определение 2.3. Совокупность элементов B = {` b <sub>1</sub>, ` b ₂, ¼, ` b _n }Ì Rⁿ

называется базисом в Rⁿ, если любой элемент ` х Î Rⁿ можно единственным образом представить в виде:

` х = х<sub>1</sub> ` b₁ + х₂ ` b<sub>2</sub> + …+ х<sub>n</sub> ` b_n, x_i Î Rⁿ; i = 1, 2, …, n. Коэффициенты  разложения вектора  по базису называются координатами вектора относительно данного базиса

Критерий базиса. Для того, чтобы система В была базисом в Rⁿ необходимо и достаточно, чтобы ∆ (` b <sub>1</sub>, ` b ₂, ¼, ` b _n) ≠ 0.

Естественный базис в Rⁿ образуют векторы

` е<sub>1</sub> = (1, 0, 0,…, 0); ` е₂ = (0, 1, 0,…, 0); … ` е_n = (0, 0, 0,…, 1)

Определение 2.4. Скалярным произведением векторов

 и   называется число  равное сумме произведений одноименных координат: .

Свойства скалярного произведения

1.  (коммутативность);

2.  (дистрибутивность);

3.  (ассоциативность по отношению к умножению на число);

4.

 

Норма вектора в Rⁿ

Определение 2.5. Нормой вектора в Rⁿ называют число

.

Свойства нормы вектора

1. Для любого , причем  тогда и только тогда, когда .

2. Для любого  и числа .

3. Для любых  справедливо неравенство треугольника: .

 

Определение 2.6. Если векторы  и  ненулевые, то углом между ними называется число , вычисляемое из соотношения:

.

Определение 2.7. Вектора  и из  называются ортогональными, если

Два ненулевые вектора в  (или в ) ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними равен , то есть когда эти векторы перпендикулярны.

Векторное произведение в R³.

C

 

Определение 2.8. Векторным произведением вектора ` а на ` b в R³ называется вектор` с (см. рисунок):

а) норма которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах ` а и ` b, как на сторонах;

б) вектор ` с перпендикулярен к плоскости параллелограмма;

в) направлен так, что кратчайшее вращение вектора` а к вектору ` b мы

наблюдаем с конца вектора ` с совершающимся против часовой стрелки (говорят также, что (` а, ` b, ` c) – правая связка).

Векторное произведение обозначают ` с = ` а ´ ` b.

Теорема. (Выражение векторного произведения через координаты векторов).

Если ` a = (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>), ` b = (b₁, b₂ , b₃), то ` a ´ ` b вычисляется по формуле:

где ` i, ` j, ` k образуют естественный базис в R³: .

Свойства векторного произведения

1.  (антикоммутативность);

2.  (дистрибутивность);

3. ;

4.  тогда и только тогда, когда векторы  и  линейно зависимы.