Лагранжа или формулой конечных приращений. 2 страница

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

           

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 

 

Схема исследования функций

 

       Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

 

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

 

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

 

       Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-  < x < -1,  y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0,       y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 0 < x < 1,        y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

 1 < x < ,    y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 < x < ¥,   y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

-  < x < -1,  y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0,       y¢ < 0, функция убывает

 0 < x < 1,        y¢ < 0,  функция убывает

 1 < x < ,    y¢ < 0, функция убывает

 < x < ¥,   y¢¢ > 0, функция возрастает

 

       Видно, что точка х = -  является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.

 

       Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

 

       Итого, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

 

Построим график функции:

 

 

Векторная функция скалярного аргумента.

 

 

                                                      z

 

                                                                   A(x, y, z)

 

                                                                

 

                                                                              

                                                          

                                                                                                            y

 

 

                     х

 

       Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = j(t); y = y(t);   z = f(t);

 

Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

       Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

 

       Запишем соотношения для некоторой точки t₀:

Тогда вектор  - предел функции (t). .

 

Очевидно, что

, тогда

 

.

 

       Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

 

                                                                           

                                                                    

                                                                              

                                                     

;           ;

 

 

 

или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то

 

       Это выражение – вектор производная вектора .

 

 

Если имеется уравнение кривой:

x = j(t); y = y(t);   z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(x_А, y_А, z_А) с радиус- вектором

 

можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то

 

.

 

 

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

       1)

       2) , где l = l(t) – скалярная функция

       3)

       4)

 

Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:

           

 

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением   в точке t = p/2.

 

       Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

 

x(t) = cost;  y(t) = sint; z(t) = ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:

 

x ¢ (t) = -sint;           y ¢ (t) = cost; 

x ¢ (p /2) = -1;          y ¢ (p /2) = 0;       z ¢ (p /2)=

x(p /2) = 0;          y(p /2) = 1;       z(p /2)= p /2

 

 

- это уравнение касательной.

 

Нормальная плоскость имеет уравнение:

 

Параметрическое задание функции.

 

       Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

 

       Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

       Для каждого интервала (t₁, t₂), (t₂, t₃), …, (t_k-1, t_k) находим соответствующий интервал (x₁, x₂), (x₂, x₃), …, (x_k-1, x_k)  и определяем знак производной  на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

       Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

       Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

       В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

 

       На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

       Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

 

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической

форме.

 

 

Окружность.

                              Если центр окружности находится в     начале координат, то координаты любой ее

точки могут быть найдены по формулам:                 

                                      0 £ t £ 360⁰

       Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

 

x² + y² = r²(cos²t + sin²t) = r²

 

 

Эллипс.

 

Каноническое уравнение: .

                                                                               В

                                                                          C      M(x, y)

t

                                                                     О N P

        Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать:  из DОВР и  из DOCN, где а- большая полуось эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

 

       Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

 где 0 £ t £ 2p

Угол t называется эксцентрическим углом.

 

Циклоида.

                   у

 

 

                                  С

                                   

                    М   К

                    О Р В                 pа                         2pа                  х

 

 

       Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

 

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = = at;        PB = MK = asint;

ÐMCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

x = at – asint = a(t – sint).

 

Итого:       при 0 £ t £ 2p - это параметрическое уравнение циклоиды.

Если исключить параметр, то получаем:

       Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

 

 

Астроида.

 

       Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса a/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса a.

 

 

                                                                               a/4

 

 

                                                                                               

                                                                                           a

 

           

       Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,

,     0 £ t £ 2p,

 

Преобразуя, получим: x^2/3 + y^2/3 = a^2/3(cos²t + sin²t) = a^2/3

 

 

Производная функции, заданной параметрически.

 

       Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

 

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

       Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

 

 

       Пример. Найти производную функции

 

Способ 1: Выразим одну переменную через другую , тогда

 

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: .

x² = a²cos²t;  

Кривизна плоской кривой.

 

                                           a                                                      a

                                              В

 

                                           А                                    А                В

 

 

       Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

 

       Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

 

       Определение: Средней кривизной К_ср дуги  называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги .

       Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

 

       Определение: Кривизной дуги в точке К_А называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги  ® 0.

 

       Легко видеть, что если обозначить  = S, то при условии, что угол a - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

 

       Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина .

Пусть кривая задана уравнением y = f(x).

 

                                  y

 

                                                       B

                                                           Dj

 

 

                                           A j j+Dj

 

                                                                                                       x

 

 

K_cp = ;        ;

Если j = j(x) и S = S(x), то .

В то же время .

Для дифференциала дуги: , тогда

Т.к. .               В других обозначениях: .

 

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

 

 

                                           A

                                                       C(a, b)

 

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.

       Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

 

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

 

       Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

 

       Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

 

       Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.

 

 

Свойства эволюты.

       Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

 

       Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.

 

                               С₃                                       

 

                               С₂                                                  

                   С₁                                                        

 

             R₁  R₂  R₃

 

           M₁   

     M’₁            M₂       M₃      

                   M’₂

                                   M’₃

Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.

Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.

 

       Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

 

Уравнения эволюты:

Окончательно: - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

 

 

 

 

Кривизна пространственной кривой.

 

                                                       z

 

 

                                                                                           A(x, y, z)

                                                                   B 

 

                                                              

 

                                                             0                                          y

                                                                        

 

                                   x

       Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

 

x = j(S);    y = y(S);  z = f(S);

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

       Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

 

, тогда  - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

       Но т.к. , то  - единичный вектор, направленный по касательной.

 

Если принять , то .

Причем .

 

Рассмотрим вторую производную

 

       Определение: Прямая, имеющая направление вектора называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается .