Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Известные способы сложения и вычитания можно записать с помощью букв:

1. Переместительное свойство сложения записывается так:

.

В этом равенстве буквы и  могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

2. Сочетательное свойство сложения записывается так:

.

Здесь , и   - любые натуральные числа и нуль.

3. Свойство нуля при сложении можно записать так:

.

Здесь буква может иметь любое значение.

4. Свойство вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом:

Здесь или .

5. Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так:

если или ;

если или .

6. Свойство нуля при вычитании можно записать:

Здесь  может принимать любые натуральные значения и значение 0.

Уравнение

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях.

Уравнением называют равенство. Содержащее букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число на натуральное число  – значит найти сумму  слагаемых, каждое из которых равно .

Выражение и значение этого выражения называют произведением чисел и . Числа и  называют множителями.

1. Произведение двух чисел не изменится при перестановке множителей.

Это свойство умножения называют переместительным. С помощью букв оно записывается так:

.

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так:

.

Сумма  слагаемых, каждое из которых равно 1, равна . Поэтому верно равенство .

Сумма  слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Деление

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает во сколько раз делимое больше, чем делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

1. При делении любого числа на 1 получается это же число.

2. При делении числа на это же число получается единица.

3. При делении нуля на число получается нуль.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Деление с остатком

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно. Получается деление с остатком. Остаток всегда меньше делителя. Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Упрощение выражений

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так:

Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания.

С помощью букв его записывают так: