Условия равновесия системы сил, линии действия которых расположены в одной

плоскости

В дальнейшем на лекциях будет показано, что

для равновесия системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости действия сил, равнялась нулю и сумма моментов всех сил относительно оси, перпендикулярной плоскости действия сил, равнялась нулю

(1.1)

где – произвольно выбранная точка плоскости .

В курсе статики используется, в основном, декартова система координат, три взаимно перпендикулярных оси которой – , имеют орты .

Первые два уравнения равновесия (1.1) связывают проекции векторов сил на выбранные координатные оси. Чтобы построить такую проекцию, нужно перенести ось параллельно самой себе так, чтобы она проходила через точку приложения силы и опустить перпендикуляры на ось из начала и конца вектора (Рис. 1.1-1.2):

проекцией вектора на координатную ось называется взятая с соответствующим знаком длина отрезка оси, заключённого между проекциями начала и конца вектора



Рис. 1.1		Рис. 1.2

Таким образом, ортогональная проекция вектора силы на ось определяется по формуле

где – модуль силы; – острый угол между двумя прямыми: линией действия вектора и осью .

При этом проекция положительна, если условное перемещение от проекции начала вектора к проекции его конца совпадает с положительным направлением оси и отрицательна в противоположном случае.

Третье уравнение (1.1) связывает так называемые моменты сил. Рассмотрим некоторую пластину, которая может вращаться вокруг оси , проходящей через закреплённую точку перпендикулярно плоскости пластины (Рис. 1.3). К пластине приложены две силы,

Рис. 1.3

которые стремятся вращать пластину в противоположные стороны. Куда будет вращаться пластина? Опыт показывает, что вращательный эффект силы зависит не только от её величины, но и от её расположения по отношению к оси. Вращательный эффект силы характеризует её момент относительно оси :

где – плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от точки до линии действия силы; знак «+» соответствует повороту вокруг точки против хода часовой стрелки.

Напомним, что мы говорим о силах, линии действия которых расположены в плоскости, перпендикулярной оси . В дальнейшем будут введены общие понятия момента силы относительно точки и оси.

Основные виды связей

Помимо заданных – активных сил – на тело, равновесие которого рассматривается, действуют силы, приложенные со стороны опор – связей. Реакция связи потому так и называется потому, что возникает в ответ – реагирует на действие сил, приложенных к телу. В зависимости от устройства связи обладают различными возможностями по ограничению перемещения точки закрепления.

Рассмотрим некоторые из так называемых идеальных связей. Понятие идеальных связей – важнейшее понятие механики будет подробно рассмотрено в дальнейшем при изучении аналитической механики. Пока будем считать связь идеальной, если возможно не учитывать явление трения.

Одна из самых распространённых опор – н еподвижный цилиндрический шарнир (подшипник). Простейшую схему такой опоры можно представить следующим образом: имеется закреплённый стержень, на который надета пластина (Рис. 1.4). Такая опора позволяет пластине скользить вдоль стержня и вращаться вокруг него. Под действием активной нагрузки возникает точечный контакт между стержнем и пластиной. Реакция направлена по нормали к стержню (оси шарнира), но заранее неизвестно в какой точке осуществляется контакт и, следовательно, по какой из нормалей к оси шарнира будет направлена реакция.



Рис. 1.4		Рис.1.5

Таким образом, в общем случае реакция неподвижного шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, но в этой плоскости она заранее неизвестна ни по модулю, ни по направлению. Для её определения удобно ввести две неизвестные по модулю составляющие, направленные параллельно координатным осям в положительном направлении этих осей и . Неизвестными величинами в таком случае будут проекции силы реакции шарнира на координатные оси и .

Размерами шарнира при расчётах пренебрегают. Схематическое изображение неподвижного шарнира представлено на Рис. 1.5. Конструктивно неподвижный цилиндрический шарнир, как правило, представляет собой шарикоподшипник.

Для некоторых видов опор перемещения точки закрепления ограничиваются только в определённом направлении. По этому направлению и действует сила реакции связей. В качестве неизвестной величины для опор такого типа имеет смысл рассматривать модуль реакции опоры.

Рассмотрим опоры, относящиеся к такому типу.

Гибкая невесомая нерастяжимая нить. Нить не даёт телу перемещаться в единственном направлении – вдоль нити от точки закрепления (на растяжение нити). Реакция такой нити всегда направлена вдоль нити к точке подвеса (Рис.1.6).



Рис. 1.6		Рис. 1.7

Гладкая (без трения) поверхность. Реакция такой поверхности направлена по общей нормали к поверхностям тел, проведённой в точке контакта, причём наружу от опорной поверхности (Рис.1.7а). Если в точке контакта у одной из поверхностей нормаль не определена (Рис.1.7б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

Невесомый ненагруженный стержень с шарнирно закреплёнными концами. Пусть тело закреплено при помощи неподвижного шарнира и невесомого стержня , шарнирно закреплённого на концах (Рис. 1.8).

Рассмотрим стержень (Рис.1.9). Он находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в точках и . Две силы могут уравновесить друг друга только в том случае, когда они действуют по одной прямой. Таким образом, сила давления тела на стержень направлена вдоль стержня. Учитывая третий закон Ньютона, приходим к выводу, что реакция ненагруженного стержня направлена вдоль прямой, соединяющей шарнирно закреплённые концы стержня.



Рис. 1.8		Рис. 1.9.

Схематическое изображение такой опоры и её реакция представлены на Рис.1.10.

Подвижный цилиндрический шарнир представляет собой цилиндрический шарнир, поставленный на катки, на которых он может без сопротивления перемещаться по опорной поверхности. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности (Рис.1.11).



Рис.1.10	Рис.1.11	Рис.1.12	Рис.1.13	Рис.1.14

Аналогичные реакции возникают в шарнирно-скользящей опоре (Рис.1.12) и игольчатой опоре (Рис.1.13).

Заметим, что шарнирно-неподвижную опору (Рис.1.5) можно представить как систему двух шарнирно закреплённых на концах стержней (Рис.1.14).

Пример 1.1

Балка имеет шарнирно неподвижную опору в точке и прикреплена к концу троса в точке . Балка нагружена силами и , приложенными как показано на Рис. 1.15. Трос переброшен через блок и растягивается противовесом . Пренебрегая трением на блоке, определить силу реакции шарнира и силу тяжести противовеса .

Дано:

Рассмотрим равновесие стержня . Кроме заданных сил и , на балку действуют сила реакции троса, приложенная в точке , и сила реакции шарнира, приложенная в точке .



Рис. 1.15		Рис. 1.16

Неизвестную по модулю и направлению силу представим двумя неизвестными по модулю составляющими, направленными вдоль выбранных координатных осей. Направление реакции в точке известно. Заданную силу имеет смысл разложить в точке на две составляющие, параллельные координатным осям. Силовая схема представлена на Рис.1.16.

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

Решая полученную систему уравнений, находим:

Остаётся определить силу тяжести противовеса .

Рассмотрим равновесие тела (Рис.1.17). Получаем:

Рассмотрим равновесие блока (Рис.1.18). Составляя уравнение моментов относительно оси блока, получаем:

Таким образом,



Рис. 1.17		Рис. 1.18

Как видно, натяжения концов нити, переброшенной через блок, при отсутствии трения одинаковые.

Пример 1.2

Ломаный стержень имеет шарнирно неподвижную опору в точке и шарнирно подвижную опору в точке . В точке приложена сила , линия действия которой перпендикулярна (Рис.1.19). Дано: кН, м, м, Определить реакции опор.

Рассмотрим равновесие стержня . Направление реакции шарнира заранее неизвестно. Можно определить линию действия этой силы при помощи теоремы о трёх силах и решить задачу графически. Однако на таком пути часто возникают хотя и преодолимые, но неоправданные сложности, связанные с решением чисто геометрических проблем. Намного эффективнее аналитический путь решения задачи.



Рис. 1.19		Рис. 1.20

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

Решая полученную систему уравнений, находим:

Замечание.

Имеет смысл получать решение в общем виде (в буквенных обозначениях). Численные значения следует подставлять только на последнем этапе решения задачи.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

Какова методика решения задач об определении реакций опор?
Каковы условия равновесия плоской системы сил?
Как вычисляется проекция вектора силы на координатную ось?
Как вычисляется момент силы относительно оси, перпендикулярной плоскости расположения сил?
Как представляется реакция шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор?
Как представляется реакция троса, гладкой поверхности и стержневой опоры?

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 2.28; 2.29; 2.30; 2.31; 2.41; 4.7; 4.8; 4.10; 4.11; 4.12; 4.13; 4.14; 4.15.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-1.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

1.4. Учёт пары сил при составлении уравнений равновесия

Рассмотрим особенности решения задач, в которых наряду с силами на тело действует пара сил с моментом , расположенная в координатной плоскости .

При составлении уравнений равновесия следует учитывать, что в условия равенства нулю суммы проекций всех сил на любую координатную ось входящие в пару силы и никакого вклада не внесут, так как сумма проекций этих сил на любую координатную ось равна нулю ().

Вычислим сумму моментов сил, образующих пару, относительно оси (Рис. 1.21).

Рис. 1.21

Таким образом, в уравнении моментов к моментам прочих сил алгебраически прибавляется момент пары, точнее проекция на ось вектора момента пары, взятая с соответствующим знаком. Проекция момента пары положительна, если с положительного конца оси поворот пары виден против хода часовой стрелки.

Пример 1.3

Однородная балка весом , шарнирно закреплённая в точке , удерживается в горизонтальном положении при помощи троса. Балка нагружена парой сил с моментом (Рис. 1.22). Дано: Н; Нм; м; . Определить давление на шарнир и натяжение троса.

Рассмотрим равновесие балки . Силовая схема представлена на Рис. 1.23. Заметим, что необходимо определить силы, приложенные не к балке , а к другим телам – шарниру и тросу. Мы рассматриваем равновесие балки и поэтому ввели силы реакции шарнира и реакции троса . Но эти реакции, согласно третьему закону Ньютона, равны по модулю и противоположны по направлению искомым силам.



Рис. 1.22		Рис. 1.23

При составлении уравнения моментов за моментную примем точку и заметим, что поворот, создаваемый парой сил, виден по ходу часовой стрелки.

Отсюда:

Н; Н; Н.

Давление на шарнир определим по формуле:

Н.

Жёсткая заделка.

Рассмотрим балку, один конец которой заделан в стену (Рис. 1.24). Подобно неподвижному шарниру, жёсткая заделка препятствует любым перемещениям конца балки и, следовательно, создаёт неизвестную по модулю и направлению силу реакции. Но в отличие от шарнира, заделка препятствует любым поворотам балки, создавая кроме силы реакции ещё и пару сил, направление и модуль момента которой заранее неизвестны. Таким образом, в общем случае получаем в качестве неизвестных три проекции силы реакции на координатные оси и три момента реакции относительно координатных осей.



Рис. 1.24		Рис. 1.25

Особый интерес представляет случай, когда система активных сил расположена в одной плоскости (например, в координатной плоскости . В этом случае система сил реакций также будет плоской и реакция заделки будет представлена двумя составляющими силы и и одной составляющей момента (Рис. 1.25). Неизвестными величинами в таком случае будут проекции этих составляющих на соответствующие координатные оси.

Пример 1.4

Однородная балка весом , защемлена в стене в сечении . Балка нагружена силой , приложенной в точке (Рис. 1.26). Определить составляющие реакции заделки.



Рис. 1.26		Рис. 1.27

Рассмотрим равновесие балки . Силовая схема представлена на Рис. 1.27.

Условия равновесия имеют вид:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Какой вклад вносит пара сил в уравнения равновесия?

2. Какими составляющими представляется реакция жёсткой заделки?

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.25; 4.27.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-2; СР-3

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

1.6. Распределённая нагрузка

Поверхностные и объёмные силы представляют собой нагрузку, распределённую по некоторой поверхности или объёму. Такая нагрузка задаётся интенсивностью , которая представляет собой силу, приходящуюся на единицу некоторого объёма, или некоторой площади, или некоторой длины.

Особое место при решении ряда практически интересных задач занимает случай плоской распределённой нагрузки, приложенной по нормали к некоторой балке. Если вдоль балки направить ось , то интенсивность будет функцией координаты и измеряется в Н/м. Интенсивность представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины.

Плоская фигура, ограниченная балкой и графиком интенсивности нагрузки, называется эпюрой распределённой нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру решаемой задачи можно не учитывать деформации, т.е. можно считать тело абсолютно твёрдым, то распределённую нагрузку можно (и нужно) заменить равнодействующей.


Рис. 1.28		Рис. 1.29

Разобьём балку на отрезков длиной , на каждом из которых будем считать интенсивность постоянной и равной , где – координата отрезка . При этом кривая интенсивности заменяется ломаной линией, а нагрузка, приходящаяся на отрезок , заменяется сосредоточенной силой , приложенной в точке (Рис. 1.29). Полученная система параллельных сил имеет равнодействующую, равную сумме сил, действующих на каждый из отрезков, приложенную в центре параллельных сил.

Понятно, что такое представление тем точнее описывает реальную ситуацию, чем меньше отрезок , т.е. чем больше число отрезков . Точный результат получаем, переходя к пределу при длине отрезка , стремящейся к нулю. Предел, получаемый в результате описанной процедуры, представляет собой интеграл. Таким образом, для модуля равнодействующей получаем:

Для определения координаты точки приложения равнодействующей используем теорему Вариньона:

если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра (любой оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра (этой оси)

Записывая эту теорему для системы сил в проекциях на ось и переходя к пределу при длине отрезков, стремящейся к нулю, получаем:

Очевидно, модуль равнодействующей численно равен площади эпюры распределённой нагрузки, а точка её приложения совпадает с центром тяжести однородной пластины, имеющей форму эпюры распределённой нагрузки.

Отметим два часто встречающихся случая.

Равномерно распределённая нагрузка, (Рис. 1.30). Модуль равнодействующей и координата её точки приложения определяются по формулам:

В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.



Рис. 1.30		Рис. 1.31

Линейно распределённая нагрузка, (Рис. 1.31). В этом случае:

В частности, давление воды на вертикальную стенку прямо пропорционально глубине .

Пример 1.5

Определить реакции опор и балки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределённой нагрузки. Дано:

Рис. 1.32

Найдём равнодействующую распределённой нагрузки. Модуль равнодействующей равен

плечо силы относительно точки равно Рассмотрим равновесие балки. Силовая схема представлена на Рис. 1.33.

Рис. 1.33

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

Пример 1.6

Определить реакцию заделки консольной балки, находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределённой нагрузки (Рис. 1.34).

Дано:

Заменим распределённую нагрузку тремя сосредоточенными силами. Для этого разобъём эпюру распределённой нагрузки на два треугольника и прямоугольник. Находим