Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Лекция 2

Тема: Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системе координат. Применение двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Мы будем предполагать, что f(x,y) ≥0 и непрервына в  . В этом случае  можно рассматривать, как объём соответствующего цилиндрического тела, которое проецируется на плоскость Х0Y в область . Область  спроецируем на ось 0Х в отрезок [a,b]. Выберем фиксированное х  [a,b] и будем предполагать, что любая прямая Х=х, а<x<b пересекает границу не более чем в двух точках. Рассматриваемое цилиндрическое тело пересечем плоскостью Х=х, в сечении которого получим криволинейную трапецию, площадь которой можно вычислить с помощью определенного интеграла

Далее найдём объем цилиндрического тела по площадям параллельных сечений

 

 

 

 

Если область D спроецировать на ось 0Y в отрезок [c,d], то:

 

Таким образом двойной интеграл можно вычислять по одной из формул.

 

Формулы остаются справедливыми, если f(x,y) не является знакоположительной. Если граница  какой-либо прямой Х=х₀ , а< х₀ <b либо прямой Y=y₀ , c< y₀ <d, пересекается более чем в двух точках, то область D разбивается на конечное число областей без общих внутренних точек так, чтобы можно было вычислить двойной интеграл по каждой области, а затем результаты сложить, используя свойство двойного интеграла

Пример 1. Изменить порядок интегрирования

Решение: Вначале надо изобразить на чертеже область интегрирования D. Так как внешний интеграл берется от 0 до 1 по переменной х, то область D проецируется на отрезок [0,1] оси 0Х. Далее, внутренний интеграл берется по переменной y, поэтому уравнение нижней кривой, ограничивающей область D, имеет вид y=x, где х-нижний предел, а уравнение верхний кривой имеет вид y=2-x.

Y

Теперь область D спроецируем на ось 0Y. Область D на ось 0y спроецируется в отрезок [0,2]. Если смотреть с оси 0Y в положительном направлении оси 0Х, то снизу область D ограничена осью 0Y, уравнение которой х=0, а сверху область D ограничена линией 0AB, которая одним уравнением не записывается. Поэтому область D надо разбить на 2 области 0AC и CAB.

Следовательно, будем иметь:

Поясним, что верхний предел во внутреннем интеграле первого интеграла в равенстве справа находится из уравнения лини 0А: y=x. В этом уравнении х выражается через y, т.е. x=y, поэтому y является верхним пределом. Аналогично, верхний предел во внутреннем интеграле второго интеграла в равенстве справа находится из уравнения линии AB: y=2-x. Из последнего равенства выражаем х через y, т.е. x=2-y, поэтому 2-y – является верхним пределом во внутреннем интеграле второго интеграла справа равенства.

Из приведенного примера видно, что при вычислении двойного интеграла предварительно надо проанализировать на какую ось целесообразнее проецировать область D.

Пример 2. Вычислить  , где D={ -1≤x≤1, 0≤y≤2}

Решение: Изобразим область D на чертеже.

 Область D можно спроецировать либо на ось 0X либо на ось 0Y, в данном примере особой разницы нет. Поэтому будем проецировать область D на 0X, она спроецируется в отрезок [-1,1 ]. Теперь будем смотреть вдоль оси 0Y в положительном направлении. Снизу область D ограничена осью 0X, уравнение которой y=0.

Сверху область ограничена прямой y=2, поэтому имеем:

Постоянный множитель 2 можно вынести за знак двойного интеграла. Внутренний интеграл  берется по y, считая x константой на время вычисления внутреннего интеграла, поэтому x² можно вынести как постоянный множитель за знак внутреннего интеграла

Пример 3. Вычислить  , где D ограничена линиями:

 

Решение: Сначала найдём точки пересечения линий  решим систему

х₁=0 х₂=1

Область D проецируется на ось 0Х в отрезок [0;1];

Теперь будем смотреть вдоль оси 0Y в положительном направлении. Снизу область D ограничена линией ,а сверху линией . Поэтому:

Внутренний интеграл берётся по y, считая x константой на время вычисления внутреннего интеграла.