Критерии тренда и случайности

Критерии тренда и случайности предназначены для проверки гипотез о случайности расположения полученных выборочных данных, т.е. отсутствия взаимосвязи между значениями реализаций наблюдаемой случайной величины и их номерами в выборочной последовательности. Наибольшее применение критерии тренда находят при статистическом контроле и предупредительном регулировании технологических процессов в промышленности, позволяя заранее статистически обоснованно выявить намечающуюся тенденцию ухудшения качества продукции. Для медика наличие тренда в исследуемом ряде данных о заболеваниях является объективным критерием оценки надвигающейся эпидемии. Количество возможных ситуаций, в которых выявление тренда (закономерности, а не случайности появления ряда данных) дает практически полезную информацию, велико, и каждый инженер или исследователь повседневно встречается с необходимостью использовать критерии настоящего раздела в своей работе.

 

КРИТЕРИЙ АББЕ-ЛИННИКА

Пусть х₁,…, х_n – ряд значений взаимно независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданиями μ₁,…,μ_n соответственно и одинаковыми (но неизвестными) дисперсиями. Проверяется гипотеза о том, что все выборочные значения принадлежат одной генеральной совокупности со средними μ: (μ_i, i=1,2,…,n) против альтернативы тренда:

                                                          (4.84)

Статистика критерия Аббе - Линника имеет вид [12]:

                                                                     (4.85)

где

Если q>q_α, то нулевая гипотеза случайности х₁, …,x_n отклоняется с доверительной вероятностью α (критические значения q_α приведены в таблице 4.17).

При n>60 справедлива аппроксимация, основанная на том, что случайная величина [12]:

                                                                  (4.86)

имеет стандартное нормальное распределение. Поэтому нулевая гипотеза отклоняется, если .

 

Таблица 4.17

Критические значения qα критерия Аббе – Линника

n	доверительная вероятность α		n	доверительная вероятность α		n	доверительная вероятность α
	0,95	0,99		0,95	0,99		0,95	0,99
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18	0,3902 0,4102 0,4451 0,4680 0,4912 0,5121 0,5311 0,5482 0,5636 0,5778 0,5908 0,6027 0,6137 0,6237 0,6330	0,3128 0,2690 0,2808 0,3070 0,3314 0,3544 0,3759 0,3957 0,4140 0,4309 0,4466 0,4611 0,4746 0,4872 0,4989	23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 337	0,6713 0,6776 0,6839 0,6893 0,6946 0,6996 0,7047 0,7091 0,7136 0,7177 0,7216 0,7256 0,7292 0,7328 0,7363	0,5479 0,5562 0,5639 0,5713 0,5784 0,5850 0,5915 0,5975 0,6034 0,6089 0,6141 0,6193 0,6242 0,6290 0,6337	42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56	0,7521 0,7550 0,7576 0,7603 0,7628 0,7653 0,7767 0,7698 0,7718 0,7739 0,7759 0,779 0,7799 0,7817 0,7836	0,6655 0,6659 0,6622 0,6659 0,6693 0,6727 0,6757 0,6787 0,6814 0,6842 0,6869 0,6896 0,6924 0,6949 0,6974

Окончание таблицы 4.17

n	доверительная вероятность α		n	доверительная вероятность α		n	доверительная вероятность α
	0,95	0,99		0,95	0,99		0,95	0,99
19 20 21 22	0,5417 0,6498 0,6574 0,6645	0,5100 0,5203 0,5301 0,5393	38 39 40 41	0,7396 0,7429 0,7461 0,7491	0,6381 0,6425 0,6467 0,6508	57 58 59 60	0,7853 0,7872 0,7891 0,7906	0,6999 0,7024 0,7049 0,7071

Пример: имеется выборочный ряд значений случайных величин (n=10)

xi

4,3

2,1

0,9

5,2

4,8

1,2

0,8

3,0

6,1

10,2

Проверить гипотезу случайности ряда x_i критерием Аббе - Линника при доверительной вероятности α=0,95.

Вычисляем:

Из таблицы 4.17 при n=10 и α=0,95 имеем q_0,95=0,5311.

Так как q=0,4493<q_0,95=0,5311, то ряд значений x_i с достоверностью 0,95 может быть признан случайным.

Более подробно с представленными в данном разделе и другими способами анализа регрессионных остатков можно ознакомиться в соответствующей литературе, например [12].