Кодирование факторов. Выбор основных факторов и их уровней

В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидное преимущество активного спланированного эксперимента перед пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, т.е. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов.

Для каждого фактора необходимо указать интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов х_10, х_20,…, х_i0,…, х_k0. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (каждое для соответствующего фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний пределы [2, 11]. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так чтобы верхний уровень составлял +1, нижний -1, а основной – 0.

Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью преобразования (кодирования) факторов. 

В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.

Для простоты изложения примем, что y=f(x_1,x₂).

Пусть каждому фактору соответствует координатная ось (это можно сделать, так как факторы независимы). Образованное таким образом пространство называется факторным (рис.3.1) [2, 11].

 

Рис. 3.1 Переход от реальных факторов к кодированным

 

Отметим диапазоны изменения факторов: x_{i min} – нижний уровень; x_{i max} – верхний уровень; i=1,2. Найдем середины этих диапазонов - основные уровни [2, 11]:

                                                               (3.7)

и шаг варьирования фактора:

                                                                   (3.8)

Перенесем начало координат в точку 0 (х_10,х₂₀) и перейдем к новым координатам по формуле:

                               .                                  (3.9)

Назовем X_i – кодированными координатами. В кодированном виде верхний уровень любого фактора имеет значение «+1», нижний – «-1», основной – «0». Кодирование уровней факторов проводится для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных.

 

3.2.2. МЕТОД ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА [2, 9, 10]

Рассмотрим случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. План эксперимента представлен в табл. 3.1.

 

Таблица 3.1

План эксперимента для трех факторов

Номер опыта	план								Результат yi
	X0	X1	X2	X3	X1*X2	X1*X3	X2 *X3	X1* X2 *X3
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	y3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	y4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

 

Здесь добавлен столбец фиктивной переменной X₀, нужный для оценки свободного члена b₀. После реализации получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех восьми коэффициентов регрессии b₀,b₁,…, b₃,b₁₂,…, b_123.

План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным.

В данном плане были использованы все точки с «крайними» координатами, т.е. (все возможные комбинации выбранных уровней: 2^k=8 (k – число факторов)). Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются все возможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или 2^k

Таким образом, полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов.

Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных данных (рис. 3.2).

При числе факторов k=2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы.

Например, прием основанный на чередовании знаков: в первом столбце (для X₁) знаки чередуются поочередно. Во втором (для X₂) – через 2 знака, в третьем (для X₃) – через 4 знака и т.д. по степеням 2^k.

 

Рис. 3.2. Геометрическое изображение ПФЭ

 

Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами:

- Свойство симметричности: алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену):

                                        ,                               (3.10)

где i- номер фактора; j–номер опыта.

- Свойство нормирования: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

                                      ;                          (3.11)

- Свойство ортогональности: скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы) равно нулю:

                                                                 (3.12)

Планы, для которых выполняется свойство 3, называется ортогональными. Благодаря этому свойство резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.

Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить не один, а m* параллельных опытов (обычно m*=2 4).

В каждой серии экспериментов их последовательность рандомизируется, т.е. с помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя. Пусть, например, требуется рандомизировать 8 опытов, обозначенных цифрами I,II,…,VIII. Поставим им в соответствие любые 8 последовательных чисел, взятых в любой строке или в любом столбце таблицы случайных чисел. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить. Например, могут быть получены следующие пары: I – 60; II – 12; III – 05; IV – 15; V – 34; VI – 30, VII – 18, VIII - 70.Расположив случайные числа в порядке возрастания (или убывания), получим искомую последовательность реализации опытов: III, II, IV, VII, VI, V, I, VIII (или VIII, I, V, VI, VII, IV, II, III).