Основные определения и понятия ТПЭ

При активном эксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента, в отличие от пассивного, где математическая статистика не используется на стадии постановки эксперимента.

Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации, но это требует много времени и затрат больших средств. Инструменты математической статистики позволяют, активно вмешиваться в ход технологического процесса (экспериментального исследования): «разбалтывать» его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию.

Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученного Р. Фишера в 30-х годах ХХ столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж. Боксом и его сотрудниками. Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив ряд новых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике.

Под математической теорией эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, а так же инженерных расчетов.

Принятая терминология – это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь в ввиду при чтении литературы по теории планирования экспериментов.

Истинный вид функции отклика y=f(x_1,…, x_i,…,x_k) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи, с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнение [2, 9]:

                                  (3.1)

где х_i, х_u – переменные факторы при i=1,…, k; u=1,…, k; i≠u;

- коэффициенты.

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки x_i=x_i0.

На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов β, и данный полином заменяется уравнением вида:

                                     (3.2)

которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении  означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.:

                                     (3.3)

В регрессионной модели члены второй степени x_ix_u, x_i² характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью.

Последовательность активного эксперимента заключается в следующем [2, 10]:

1) разрабатывается схема проведения исследований, т.е. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия;

2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, т.е. осуществляется сам активный эксперимент;

3) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений.

Таким образом, планирование эксперимента – это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью.

Использование теории планирования эксперимента обеспечивает:

1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опытов;

2) одновременное варьирование всех факторов;

3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;

4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок.

 

ПЛАНИРОВАНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид [2, 10, 11]:

                         (3.4)

Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид:

                                     (3.5)

где коэффициенты регрессии b₀, b₁,…,b₃,…, b₁₂₃ являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, т.е.:

                                            (3.6)

Члены, содержащие произведения х_1*х₂; х_2*х₃ и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены вида х_1*х_2*х₃ – членами тройного взаимодействия.