Термоэкономическая модель одноступенчатой одноцелевой компрессорной холодильной установки

Принципиальная схема одноступенчатой одноцелевой компрессорной холодильной установки с проточной системой водоснабжения приведена на рис.3.3, а ее цикл в диаграмме T-S – на рис.3.4. Схема включает в себя компрессор с электродвигателем 11, конденсатор 12,насос (вентилятор) с электродвигателем для подачи в конденсатор охлаждающей, среды 13, регулирующий вентиль РВ, испаритель 21, насос с электродвигателем для транспортировки промежуточного хладоносителя 22, охлаждающие приборы 31, вентилятор с электродвигателем 32для обеспечения вынужденного движении воздуха у охлаждающих приборов (в случае применении воздухоохладителя).

Нетрудно убедиться, что приведенная схема является наиболее полной, и на ее основе, за счет исключения отдельных элементов испарительной части, могут быть получены любые возможные варианты одноступенчатой схемы, как с охлаждением промежуточным хладоносителем, так и с непосредственным охлаждением за счет кипения рабочего тела. Известно, что в холодильной установке в качестве охлаждающей среды могут использоваться вода или воздух. В последнем случае позицию 13следует рассматривать как вентилятор с электродвигателем. Естественно, что изображение аппаратов и компрессора на схеме носит условный характер и ни в коей мере не предопределяет тип используемого оборудования.

При построении термоэкономической модели одноступенчатой одноцелевой холодильной установки, исходя из наиболее общего (экономического) подхода, в качестве целевой функции была выбрана переменная часть приведенных затрат. Кроме того, для упрощения получаемых выражений сделаны следующие допущения:

1) не учитывалось изменение потерь давления в трубопроводах при транспортировке рабочего тела и других сред. Потери давления в трубопроводах и аппаратах считались постоянными, не зависящими от режима работы;

2)не учитывался теплообмен рабочего тела с окружающей средой, происходящий в компрессоре и теплообменных аппаратах через их наружную поверхность, омываемую воздухом;

3)предполагалось, что изменение площади теплопередающей поверхности теплообменных аппаратов, объема, описываемого поршнями компрессора, и производительности насосов и вентиляторов при подборе оборудования по оптимальной разности температур по сравнению с этими же величинами, определенными по обычной методике, не приводит к увеличению необходимой площади машинного отделения и соответствующему повышению стоимости здания, а также не требует увеличения численности и фонда заработной платы обслуживающего персонала;

4)перегрев всасываемого компрессором пара D T _п, так же как и переохлаждение жидкого рабочего тела, поступающего к регулирующему вентилю D T _ж, в рассматриваемом случае не оптимизировались. Считалось, что перегрев пара обусловлен правилами безопасной эксплуатации [30, 31], а охлаждение жидкости осуществляется непосредственно в конденсаторе и определяется выбранным типом аппарата;

5)стоимость запорной арматуры, регулирующих вентилей, трубопроводов и вспомогательного оборудования, так же как и стоимость рабочего тела, необходимого для первоначальной заправки системы, считалась одинаковой в установке с оборудованием, подобранным по оптимальным разностям температур в теплообменных аппаратах, и установке с оборудованием, подобранным по обычно принимаемой разности температур в аппаратах. Это дало возможность не учитывать стоимость арматуры, трубопроводов, вспомогательного оборудования и рабочего тела, необходимого для первоначальной заправки системы, при определении величины нормативных отчислений и расходов на реновацию и ремонт.

Допущения 3) и 5) приводят к тому, что изменяющаяся часть приведенных затрат включает в себя, кроме нормативных отчислений, отчислений на реновацию и ремонт от стоимости тех элементов оборудования, основные характеристики или производительность которых изменяются в результате выполнения оптимизационных расчетов, только энергетические составляющие затрат, т.е. стоимость энергии и охлаждающей воды.

Таким образом, сделанные допущения позволяют рассматривать и сопоставлять только переменную часть приведенных затрат, изменяющуюся в результате оптимизации режима работы холодильных установок, так как остальные составляющие приведенных затрат в сопоставляемых вариантах будут оставаться неизменными. В дальнейшем в тексте под приведенными затратами будет пониматься их переменная часть.

Следует заметить, что все исключенные сделанными допущениями факторы могут быть учтены при проведении оптимизационных расчетов. Для этого все величины, содержащиеся, например, в пп. 3 и 5 (необходимая площадь машинного отделения, его стоимость, численность и фонд заработной платы обслуживающего персонала, стоимость рабочего тела, необходимого для первоначальной заправки системы, и т.д.), должны быть представлены в виде некоторых функциональных зависимостей от характеристик оборудования, определяемых в результате оптимизации режима работы, таких, как площадь теплопередающей поверхности теплообменных аппаратов или объем, описываемый поршнями компрессора. Эти зависимости могут быть получены для каждого типа предприятий на основе обобщения имеющихся статистических данных. В этом случае при оптимизации режима работы в величину приведенных затрат будут входить переменная стоимость машинного отделения, переменная величина фонда заработной платы, переменная стоимость рабочего тела, необходимого для первоначальной зарядки, и т.д.

Естественно, что учет этих факторов несколько усложнит используемые зависимости и увеличит объем вычислений.

Учитывая изложенные выше исходные положения и сделанные допущения, термоэкономическая модель одноступенчатой одноцелевой компрессорной холодильной установки, технологическая схема которой была приведена на рис. 3.3, может быть представлена в виде трех последовательно соединенных зон, изображенных на рис. 3.5, ограниченных контрольной поверхностью. Зона 1 объединяет компрессор с электродвигателем 11, конденсатор 12, регулирующий вентиль РВ и насос (вентилятор) с электродвигателем 13, обеспечивающий подачу в конденсатор охлаждающей среды. Зона 2объединяет испаритель 21и насос с электродвигателем 22для транспортировки промежуточного хладоносителя. Зона 3объединяет рассольный воздухоохладитель 31 и вентилятор с электродвигателем 32для транспортировки охлаждаемого в воздухоохладителе воздуха.

В каждой из зон термоэкономической модели холодильной установки учитываются нормативные отчисления от стоимости соответствующих элементов оборудования, включенных в рассматриваемую зону, а также отчисления на реновацию и ремонт этих элементов. Для удобства расчетов эти отчисления отнесены к одному часу работы оборудования. Они могут быть определены по выражению

(3.3)

где − удельные суммарные (нормативные, на реновацию и ремонт) отчисления от стоимости i -го элемента оборудования, i = 1,2,..., m, отнесенные к одному часу работы установки; – нормативный коэффициент отчислений от стоимости i -го элемента оборудования; – коэффициент отчислений на реновацию и ремонт от стоимости i -го элемента оборудования; – полная стоимость i -го элемента; – расчетное годовое число часов работы холодильной установки.

Нормативный коэффициент отчислений k _н определяется действующими нормативными документами и для элементов энергетических установок, к которым относится и холодильное оборудование, составляет k _н =0,15.

Коэффициент отчислений на реновацию и ремонт имеет отраслевой характер и должен приниматься в соответствии с нормативами, действующими в отрасли, которой подчинено рассматриваемое предприятие.

При использовании в качестве целевой функции не экономических, а каких-то иных показателей, например объемных или массовых, вместо отчислений от стоимости будут включать объемные или массовые характеристики соответствующих элементов оборудования [28].

От внешнего источника через контрольную поверхность к различным зонам термоэкономической модели холодильной установки подводится эксергия (энергия) е ₁₁– для привода электродвигателя компрессора*, е ₁₃ – для привода электродвигателя насоса (вентилятора) охлаждающей среды, е ₂₂– для привода электродвигателя насоса промежуточного хладоносителя, е ₃₂ – для привода электродвигателя вентилятора воздухоохладителя.

* Здесь и ниже подстрочный индекс соответствует номеру соответствующего элемента на принципиальней схеме.

Цена энергии (эксергии), подводимой от внешнего источника, известна и равна . От внешнего источника подводится охлаждающая среда, расход которой равен v ₁₂, а цена . Заметим, что при использовании оборотной системы водоснабжения цена воды должна учитывать отчисления (нормативные, на реновацию и ремонт) от стоимости градирни и насоса с электродвигателем, расход энергии на транспортировку воды при использовании конденсаторов со свободным сливом (оросительных, вертикальных кожухотрубных и т.п.) и стоимость воды, расходуемой на добавку в связи с испарением части воды и ее механическим уносом. При использовании конденсаторов, исключающих свободный слив (горизонтальных кожухотрубных и т.п.) стоимость насоса с электродвигателем и расход энергии на ее перекачку в стоимость воды оборотной системы водоснабжения включаться не должны, так как они учтены величинами и . Очевидно, что при использовании конденсаторов с воздушным охлаждением стоимость охлаждающей среды (воздуха) ц _w= 0, а стоимость вентилятора с электродвигателем и расход энергии учитываются теми же величинами и .

При оптимизации холодильной установки по объемным или массовым показателям вместо цены электроэнергии и воды должны использоваться соответственно объемная или массовая характеристика энергогенерирующего и водоохлаждающего оборудования [28].

В зависимости от поставленной задачи оптимизации в качестве оптимизирующих переменных могут выбираться различные величины, при условии, что их общее число обеспечивает получение замкнутой системы уравнений.

Анализ одноступенчатой холодильной установки показывает, что к числу оптимизирующих переменных для рассматриваемой системы могут быть отнесены логарифмические разности температур между обменивающимися теплом средами (температурные напоры) в конденсаторе Θ _к, испарителе Θ _и и приборах охлаждения* Θ ₀, а также изменения температуры охлаждающей среды в конденсаторе, промежуточного хладоносителя в испарителе D T _s и воздуха в воздухоохладителе D T _в. Такой выбор переменных представляется целесообразным, так как он обеспечивает сравнительно простое определение температурных условий осуществления цикла (температур кипения и конденсации) при заданных температурах охлаждаемого объекта, окружающей и охлаждающей сред.

* При использовании в качестве охлаждающих приборов батареи непосредственного охлаждения со свободным движением воздуха Θ ₀ – арифметическая разность между средней температурой воздуха в помещении и температурой кипения рабочего тела.

При решении задачи статической оптимизации холодильной установки с учетом сделанных допущений и принятых обозначений величина годовых приведенных затрат может быть найдена по формуле

(3.4)

Расход электрической энергии на привод двигателей компрессора, насосов и вентиляторов, расход охлаждающей среды, так же как и величина площади теплопередающей поверхности теплообменных аппаратов, объем, описываемый поршнями компрессора, производительность насосов и вентиляторов (определяющие их стоимость, а следовательно, и величину отчислений) зависят от режима работы установки, а значит, от температурных напоров в теплообменных аппаратах и интервала изменения температур охлаждающей и охлаждаемой сред. Поэтому правая часть выражения (3.4) является функцией выбранных оптимизирующих переменных.

Следовательно, величина приведенных затрат является функцией нескольких переменных, экстремальное значение которой может быть определено по условиям

(3.5)

Условия (3.5) применимы, если все оптимизирующие переменные могут рассматриваться как независимые и задача сводится к определения безусловного экстремума (в рассматриваемом случае – безусловного минимума). В действительности эти переменные связаны между собой, что может быть проиллюстрировано следующим примером. Увеличение температурного напора в испарителе при постоянной холодопроизводительности Q ₀ и постоянной средней температуре хладоносителя приведет к понижению температуры кипения рабочего тела T ₀, что, как известно, повлечет за собой увеличение энергии, потребляемой компрессором. Последнее, в соответствии с выражением теплового баланса, приведет к увеличению тепловой нагрузки на конденсатор и при фиксированной площади его теплопередающей поверхности – к соответствующему увеличению температурного напора в аппарате , а при фиксированном расходе охлаждающей среды – к соответствующему увеличению ее подогрева . Аналогично можно установить связи и между другими переменными.

Получение аналитических выражений, описывающих взаимосвязь между всеми оптимизирующими переменными, представляется достаточно сложной задачей. В то же время применение методов термоэкономики позволяет упростить задачу и получить аналитические решения.

Как показано на рис.3.5, термоэкономичаская модель одноцелевой одноступенчатой холодильной установки может быть представлена рядом последовательно соединенных зон. Такое представление позволяет выразить отчисления от стоимости элементов и энергию, подводимую к каждой из зон, в виде функциональных зависимостей от потока эксергии, выходящего из рассматриваемой зоны, и воздействующих на эту зону оптимизирующих переменных.

С учетом сказанного величины нормативных отчислений от стоимости элементов оборудования и расходов на реновацию и ремонт , количество эксергии, подводимой к отдельным элементам установки от внешнего источника е _j, и объемный расход охлаждающей среды, используемой для отвода теплоты конденсации v ₁₂, могут быть в общем виде представлены следующим образом:

(3.6)

Уравнения, входящие в систему (3.6), относятся к разным зонам термоэкономической модели, связь между которыми осуществляется основным потоком эксергии, обеспечивающим получение конечного эффекта. Поток эксергии, связывающий отдельные зоны (на входе в зону), может быть также представлен в виде функциональной зависимости от выходящего из зоны потока эксергии и воздействующих на рассматриваемую зону оптимизирующих переменных:

(3.7)

В выражениях (3.6) и (3.7) е _j означает количество эксергии, а E_j – функцию, описывающую его изменение. Аналогичное замечание справедливо для z_i и Z_i, а также для v ₁₂ и V ₁₂.

Наличие связей между оптимизирующими переменными заставляет рассматривать оптимизацию величины приведенных затрат как задачу оптимизации функции нескольких переменных при наличии ограничений типа равенств (уравнений связи), т.е. как задачу нахождения условного экстремума.

Как отмечалось ранее (см. п.2.1.3), задачи, связанные с нахождением условного экстремума функции, могут быть решены при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа. Для нахождения условного экстремума должны быть приравнены нулю значения частных производных не от исходной, а от некоторой новой функции Лагранжа. При этом для нахождения экстремума частные производные должны быть взяты не только по оптимизирующим переменным исходной функции, но и по новым переменным, вводимым уравнениями связи, т.е. ограничениями типа равенств. Применение метода неопределенных множителей Лагранжа сводит задачу нахождения условного экстремума исходной функции приведенных затрат к задаче отыскания безусловного экстремума новой функции – лагранжиана.

С учетом приведенных выше систем уравнений (3.6) и (3.7) выражение лагранжиана для рассматриваемой задачи может быть записано в следующем виде:

. (3.8)

Сравнивая выражение для приведенных затрат и для лагранжиана и учитывая зависимости (3.6) и (3.7), нетрудно убедиться в полной тождественности уравнений (3.4) и (3.8).

Как известно, для нахождения условного экстремума должны быть взяты частные производные от функции Лагранжа (3.8) по всем переменным (как оптимизирующим, так и дополнительным, введенным уравнениями связи) и приравнены нулю.

Частные производные по е _j дают возможность вычислить значения . Так, частная производная по е ₂имеет вид

так как , то, очевидно, равно нулю значение производной, откуда

(3.9 а)

Аналогично может быть записано выражение производной по е ₃:

(3.9 б)

Производные по оптимизирующим переменным позволяют получить выражения

(3.10 a)

(3.10 б)

(3.10 в)

(3.10 г)

(3.10 д)

(3.10 е)

Полученная система уравнений (3.10) устанавливает связь между диссипацией (рассеиванием) энергии и затратами в каждой зоне при определенных значениях экономических показателей . Система уравнений (3.9) позволяет определить значения экономических показателей и .

Если записать выражения (3.9) в форме конечных приращений

(3.11 a)

(3.11 б)

то нетрудно убедиться, что величины и , представляющие собой отношение приращения затрат к приращению количества эксергии, выражают собой цену единицы эксергии в соответствующих сечениях термоэкономической модели.

В общем случае величины и по смыслу выражают собой скорость изменения затрат при изменении количества эксергии. Как будет показано ниже, выражения являются линейными функциями е ₂, выражения – линейными функциями е ₃, а выражения – линейными функциями . Следовательно, можно утверждать, что в данном случае графическое представление производной и функции будут совпадать, что приведет к равенству , .

Таким образом, в рассматриваемом случае неопределенные множители Лагранжа выражают цену единицы эксергии, выходящей из каждой зоны термоэкономической модели. При этом цена эксергии при входе в каждую последующую зону определяется с учетом нормативных отчислений от стоимости оборудования, отчислений на его реновацию и ремонт, а также потерь (диссипации) энергии в предыдущей зоне.

Из выражений (3.9 а) и (3.9 б) легко установить влияние каждой составляющей на цену эксергии, выходящей из данной зоны, т.е. оценить влияние каждого элемента схемы на цену конечного продукта. Это имеет немаловажное практическое значение, так как дает возможность выделить те элементы схемы холодильной установки или статьи расходов, которые оказывают основное влияние на цену получаемого холода.

Решение системы (3.10) с учетом уравнений (3.9) позволяет определить необходимые условия для нахождения минимума лагранжиана. Иными словами, величина приведенных затрат, вычисленная при значениях независимых переменных, определенных из решения системы (3.10) с учетом (3.9), будет иметь минимальное значение.

Если в рассматриваемой области у оптимизируемой функции имеется только одна стационарная точка и, кроме того, известно, что оптимизируемая функция не имеет разрывов, а существование экстремума обусловливается физическими или какими-либо иными предпосылками, то проведенным анализом и полученными необходимыми условиями существования экстремума можно удовлетвориться.

В противном случае необходимо проверить выполнение достаточных условий существования экстремума – постоянство знака квадратичной формы (однородного полинома второй степени, полученного по формуле Тейлора). Квадратичная форма для рассматриваемой целевой функции в общем виде может быть представлена следующим образом:

(3.12)

где – значение второй производной оптимизируемой функции (3,8) по i -й и j -й независимым переменным при их оптимальных (удовлетворяющих системам уравнений (3.9) и (3.10)) значениях; – отклонение i -й и j -йпеременной от оптимального значения; i = 1,2,...,6, j = 1,2,...,6 – порядковый номер оптимизирующей переменной.

Если при всех значениях (кроме x_i = 0) квадратичная форма положительна (F > 0), то оптимизируемая функция в рассматриваемой точке с оптимальными значениями независимых переменных имеет минимальное значение. Если при всех, значениях x_i (кроме x_i = 0) квадратичная форма отрицательна (F < 0), то оптимизируемая функция в рассматриваемой точке имеет максимум. Если же в точке ожидаемого экстремума функции квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. При обращении значения квадратичной формы в ноль вопрос о наличии экстремума в рассматриваемой точке анализируется с использованием производных более высоких порядков. Естественно, что для решения систем (3.9) и (3.10) выражения (3.6) и (3.7), записанные в общем виде, должны быть представлены в виде развернутых аналитических соотношений, являющихся составляющими математического описания процессов, происходящих в отдельных элементах холодильных установок.