Тема 1.6 Законы больших чисел

1.6.1 Неравенство Чебышева.

1.6.2 Сходимость последовательности случайных величин.

1.6.3 Теорема Маркова.

1.6.4 Теорема Бернулли.

Неравенство Чебышева.

 

Законы больших чисел.

 

0. 1 Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа , т.е.

  при . Обозначается .

0.2 Говорят, что последовательность случайных величин Х1, Х2,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

                                               

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

                                                                     {x││x-MX│≥ε}

{x││x-MX│≥ε}                    {x││x-MX│≥ε}                    {x││x-MX│≥ε}       {x││x-MX│≥ε}

.

Таким образом,

.                                                                1.6.2 Сходимость последовательности случайных величин.

 

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Обозначим через . Нужно доказать, что .

.

Отсюда  (т.к. ).

 

                                                                                                                                                            1.6.4 Теорема Бернулли.

Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли).

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μi	1	0
P	p	q

,  (т.к. ).

 (т.е. дисперсия ограничена ).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва .

.

.

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

 —относительная частота появления события А.

. N(A)=μ, .

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈ Р(А)).

 

 

Тема 1.7 Характеристическая функция

1.7.1 Производящие функции

1.7.2 Понятие характеристической функции

1.7.3 Свойства характеристических функций.

 

 

Производящие функции.

o Под целочисленной случайной величиной будем понимать дискретную случайную величину, которая может принимать значения 0,1,2,…

Таким образом, если случайная величина Х—целочисленная, то она имеет ряд распределения

Х	0	1	2	…
Р	р0	р1	р2	…

o Пусть Х—целочисленная величина с законом распределения

Х	0	1	2	…
Р	р0	р1	р2	…

Ее производящей функцией называется функция