Возведение комплексных чисел в натуральную степень

ЛЕКЦИЯ 2

Извлечение корня -й степени из комплексных чисел,
решение алгебраических уравнений

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Мы познакомились с алгебраической (декартовой) , тригонометрической  и показательной  формами записи комплексных чисел, геометрическим смыслом операций над комплексными числами: сложением, вычитанием, умножением и делением.

Что мы узнаем на этой лекции

Мы продолжим изучение геометрического смысла операций над комплексными числами. Теперь это будут операции возведения в натуральную степень и извлечения корня из комплексных чисел. Также мы узнаем некоторые важные свойствах многочленов и о решении алгебраических уравнений.

Возведение комплексных чисел в натуральную степень

Пусть задано комплексное число  в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при умножении комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на .

Итак, справедлива формула                

                                                                             (2)          

Это выражение называется формулой Муавра.

Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Для возведения в степень 9 числа  найдем его модуль  и аргумент .

Рис. 1.2. Модуль и аргумент комплексного числа

Для поиска аргумента числа  заметим, что  и при этом число  находится во 2-й четверти. Отсюда главное значение аргумента  равно . Так как , а , то модуль искомого числа равен 512, а главное значение его аргумента равно . Кстати, само число при этом равно .

Пример 3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа , где , , .

Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел , , . Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел , ,   и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.

Рассмотрим число  и вычислим модуль . Найдем тангенс его аргумента . Т.к. число   находится в четвертой четверти, то главное значение его аргумента  равно  или .

Рис. 1. 3. Модуль и аргумент комплексного числа

Рассмотрим теперь число  и вычислим его модуль . Найдем тангенс аргумента этого числа . Так как точка  находится в третьей четверти, то главное значение его аргумента

Рис. 1.4. Модуль и аргумент комплексного числа

Обратите внимание, что если  равно , то  равно . Добавочное слагаемое  не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.

У числа  найдем модуль . Тангенс аргумента здесь равен . Соответственно лавное значение его аргумента  равно .

Заметим, что , т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и . Теперь найдем  - искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента , равное . Отсюда главное значение аргумента равно . Ответ. , .

8. Извлечение корня -й степени из комплексных чисел

Пусть задано комплексное число  в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в -ю степень даст нам число, модуль которого равен , а аргумент равен ? Так как возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным  и аргументом, равным , обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное , после возведения в -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на , т.е. на . А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем -й степени из заданного числа .

Тем самым мы получим            

                     ,                      (3)  

где . Формула (3) для извлечения корней из комплексных чисел показывает, что  является величиной, принимающей  различных значений при . Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса  через равные значения аргумента .

Пример 4. Найдите .

Решение. На рисунке 1.5 отмечены 3 точки, которые являются корнями 3-й степени из числа 8. Эти три точки находятся на окружности радиуса 2 и имеют аргументы 0,  и . Итак, искомыми корнями является действительное число  и «по настоящему» комплексные числа:

Рис. 1.5. Корни третьей степени из числа 8

, .