Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y¢, y¢¢,..., y⁽ⁿ⁾ - производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с функцией y (x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

F (x, y, y ¢, y ¢¢,..., y ⁽ ⁿ ⁾) = 0. (6.1)

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение n -го порядка может не содержать некоторые из величин x, y, y ¢,..., y ^{(n -1)}или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n -ю производную y ⁽ⁿ⁾.

Пример 1. y ¢ + 2 y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной равен единице.

Пример 2. y ⁽⁴⁾ - y ¢ = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков, наивысший порядок производной равен 4.

Решение дифференциального уравнения - это функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество:

Пример 3. Пусть дано уравнение y ¢¢ + y = 0. Проверим непосредственной подстановкой, что функция y = sinx является решением этого уравнения.

y ¢= (sin x)¢ = cosx, y ¢¢= (cosx)¢= - sinx.

Подставим в уравнение вместо y и y ¢ функции sinx и - sinx:

- sinx + sinx º 0.

График решения называется интегральной кривой. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

y ⁽ ⁿ ⁾= f (x, y, y ¢,..., y ⁽ ⁿ ^-1)).

(6.2)

Такая запись уравнения называется видом, разрешенным относительно старшей производной, а функция f (x, y, y ¢,..., y ⁽ ⁿ ^-1)) называется правой частью уравнения.

Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y (x), удовлетворяющего заданным начальным условиям: при x = x ₀

y = y ₀,

y ¢= y ₁¢,

...,

y ⁽ ⁿ ^-1)= y_n (6.3)

где x₀, y ₀, y ₁,..., y_{n -} заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Начальные условия можно записать и так:

Дадим определения общего и частного решений уравнения n -го порядка

правая часть которого есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G изменения переменных x, y, y ¢,..., y ^{(n -1)}. Функция

y = j (x,C₁,C₂,...,C _n),(6.4)

зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C ₁, C ₂,..., C_n, называется общим решением уравнения (5.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) функция (6.4) является решением уравнения (6.2) при любых значениях произвольных постоянных C ₁, C ₂,..., C_n;

2) каковы бы ни были начальные условия (6.3), существует единственный набор постоянных C ₁⁰, C ₂⁰,..., C_n ⁰, такой, что функция y = j (x,C₁⁰, C₂⁰,..., C_n⁰) является решением уравнения (6.2) и удовлетворяет начальным условиям (6.3).

Чтобы найти решение уравнения (6.2) с начальными данными (x ₀, y ₀, y ₁, y_n ⁾из области G, если известно общее решение (6.2) поступают следующим образом:

составляют систему уравнений

(6.5)

2) решая систему (6.5), находят C ₁⁰, C ₂⁰,..., C_n ⁰;

3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение(6.4) и получают искомое решение

y = j (x,C₁⁰, C₂⁰,..., C_n⁰),

которое является искомым единственным решением задачи.

Если общее решение уравнения (6.2) задано в неявном виде

Ф (x, y,C₁, C₂,..., C _n) = 0,(6.6)

то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения (6.4) при конкретных значениях постоянных C ₁= C ₁⁰, C ₂= C ₂⁰,..., C_n = C_n ⁰, называется частным решением уравнения (6.2).