Приложения определенного интеграла.

 

1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f (x) ³ 0 на отрезке [ a,b ], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.

 

                                                                               (5.23)

Если на [ a,b ] функция, как показано на рис. 5.6, меняет знак, то необходимо вычислить интеграл от модуля подинтегральной функции.

.                                                                                

Это означает, что если на отрезке [ а,с ] Ì [ a, b ] функция f (x) < 0, то на этом отрезке берется отрицательное значение функции

 

 

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке [0,2p].

Решение. Поскольку sin(x) ³ 0 на отрезке [0, p] и sin(x) £ 0 на [p,2p], то искомая площадь S равна

S =

= - (cosp - cos0) + (cos2p -cosp) = -(-1 –1) +(1 + 1) = 4.

 

 

Рис. 5.6. Вычисление площади при помощи определенного интеграла

 

Рис. 5.7. Вычисление площади плоской фигуры.

 

В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры ограниченной несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть алгебраическая сумма площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис.5.7

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями y ₁=½ x - 2½ и y ₂ =  (рис. 5.8).

 

Рис. 5.8. Площадь плоской фигуры.

 

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение

 

y ₁(х) = y ₂(х).

 

Возведем в квадрат левую и правую часть

 

или ; .

 

Учтем, что .

Следовательно

 

Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается функцией f (x) и отрезку [ a,b ] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом разобьем эту дугу, как показано на рис.5.9 на n частей точками M ₀, M ₁,..., M _n. Получим элементарные дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в дугу AB ломаную линию. Длину звена ломанной D l _i, лежащую между точками М _i M_{i + 1}, где М _i (x_i, f (x_i)), М _{i +1} (x_{i + 1}, f (x_{i +1})) находим по формуле

 

.

 

Длина элементарной дуги М _i M_{i +1} примерно равна D l _i

 

.                                          (5.24)

 

Просуммируем (5.24) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна

 

 

 

Рис. 5.9. Длина дуги.

 

.

 

Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При бесконечном увеличении числа точек разбиения , проводимого произвольным образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к нулю ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда длина дуги L плоской кривой

 

(5.25)    

Если кривая задана в параметрическом виде: х = j(t), y = y(t) (a£ t £b), то длина кривой вычисляется по формуле

 

(5.26)

Пример 1. Найти длину дуги кривой y ² = x ³ , заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y ³ 0).

Решение. . Подставляя затем этот результат в (5.25), получим

 

.

 

Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos³ t, y = a sin³ t, если t изменяется 0 до p/2.

Решение. Вначале находим производные по t

 

x ¢(t) = -3 a cos² t ּsin t, y ¢(t) = 3 a sin² t ּcos t

 

Подставляя в формулу (5.26), имеем

 

 

Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью ОХ (рис.5.10), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V. Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1}< x _i <... < x _n = b.

 

 

Рис. 5.10. Объем тела переменного сечения.

 

 В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси О Х. Тело разделится на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δ x _i = x _i - x _i-1 (i = 1, 2,…, n). Объем каждого такого слоя обозначим как Δ V _i. На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] выберем произвольную точку . Обозначим за S (x *_i) площадь поперечного сечения тела в этой точке. Тогда

 

                                                                          (5.27)

Просуммируем (5.27) по всем i, получим интегральную сумму

 

                                                           (5.28)

 

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i, т.е. ранг дробления r должен стремится к нулю. Тогда объем тела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной суммы при  и

 

                                  (5.29)

                                                                 

Если тело получено при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ОХ (рис. 5.11), то . В этом случае объем тела V вычисляется по формуле

 

                                                      (5.30)

Рис. 5.11. Объем тела вращения.

 

Пример. Вычислить объем тела, полученного при вращении кривой y = sin(x) вокруг оси ОХ .

Решение.

 

.