Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Дифференциал функции

Теорема. Если функция у (x) = f (x) дифференцируема в своей области определения, то она непрерывна. Обратное не верно: из непрерывности функции дифференцируемость не следует.

Доказательство. Дифференцируемость означает наличие производной

(2.12)

Используем теорему о разности между функцией и ее пределом:

если , то

f (x) = A + a (х),(2.13)

где a (х) величина бесконечно малая.

Сравнивая выражения (2.12) и (2.13) получим, что в нашем случае

A y’ (x), f (x) ,

т.е. = y ’ (x) + a (Δ х). (2.14)

Умножим (2.14) на Δ х

. (2.15)

Из (2.15) следует, что если , то и , что является доказательством непрерывности функции..

Приведем пример показывающий, что непрерывная функция может быть не дифференцируемой. Возьмем функцию

Эта функция непрерывна на всей области определения, так как в точке х ₀ = 0 выполняется соотношение

= = f (x ₀).

Действительно

и = f (x ₀),

Следовательно, в точке 0 функция непрерывна. Но производной в этой точке нет, так как слева при x < 0, y ’(x) = -1, а справа при x > 0 y ’(x) = 1.

Вернемся к формуле (2.15). Дифференциалом df (x) функции f (x) в точке х называется линейная по D x часть приращения функции

df (x) = . (2.16)

По определению для независимой переменной Δ х = dx. Поэтому дифференциал функции f (x) записывают чаще так

(2.17)

Формула (2.17) сохраняется и в том случае, когда х зависимая переменная (формула (2.16) для зависимой переменной неверна).

Геометрический смысл дифференциала (рис.2.2).Производная f ¢(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f (x). Дифференциал равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции NB D f (x) = f (x + D x) - f (x) на дифференциал СВ равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику (см. также рис.2.1).

Производная f ¢(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел отношения приращения производной к приращению аргумента