Матрицы. Правила действия с матрицами

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»

Кафедра математики

Г. П. Мещерякова

Математика

Конспект лекций

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

2018

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

М 56

Р е ц е н з е н т ы:

Мещерякова, Г. П.

М 56 Математика. Конспект лекций: учеб. пособие / Г. П. Мещерякова,

ISBN 978-5-7937-1228-6

Конспект лекций по математике для направлений …..Лекции посвящены рассмотрению необходимых теоретических сведений по следующим разделам курса математики: линейная и векторная алгебры, введение в математический анализ и теория пределов, основы дифференциального и интегрального исчисления, теория вероятности и элементы математической статистики. Даны решения типовых задач.

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

ISBN 978-5-7937-1228-6

Оглавление

Введение	4
1. Линейная алгебра	4
1.1. Матрицы. Правила действия с матрицами.	4
1.2 Системы линейных алгебраических уравнений	8
1.3.Векторная алгебра	15
2Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве	20
2.1. Геометрия на плоскости	20
Системы координат на плоскости	20
Прямая линия на плоскости	23
Кривые второго порядка	27
2.2. Геометрия в пространстве	32
Системы координат в пространстве	32
Плоскость и прямая в пространстве	34
3. Математический анализ	38
3.1. Введение в анализ	38
Функциии. Основные определения	38
Предел функции	41
Правила вычисления пределов	44
Замечательные пределы	46
Непрерывность функции. Односторонние пределы	49
3.2. Производная функции и дифференциал	51
Определение производной и правила дифференцирования	51
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции	58
Теоремы о дифференцируемых функциях	61
Приложение производной к исследованию функций	65
3.3. Функции многих переменных	73
Функции двух переменных	73
Экстремум функции двух переменных	81
3.4. Неопределенный интеграл	87
Определение первообразной и определение неопределенного интеграла	87
Основные методы интегрирования	89
3.5. Определенный интеграл	98
Определение определенного интеграла	98
Выычисление определенного интеграла	103
Несобственные интегралы	107
Приложения определенного интеграла	109
3.6. Дифференциальные уравнения	114
Основные понятия теории дифференциальных уравнений	114
Дифференциальные уравнения первого порядка	118
Дифференциальные уравнения второго порядка	123
3.7. Последовательности и ряды	129
7.1. Числовые ряды	129
Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами	134
Знакочередующиеся ряды	139
7.2. Степенные ряды	140
4. Теория вероятностей	145
4.1. Элементы комбинаторики	145
4.2. Случайные события	149
4.3. Понятие вероятности	150
Алгебра событий. Основные теоремы теории вероятностей	152
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли	156
4.4. Случайные величины	157
Дискретные случайные величины	158
Основной закон распределения дискретной случайной величины	163
Простейший поток событий	165
4.5. Непрерывные случайные величины	167
5. Элементы математической статистики	178
5.1.Основы выборочного метода. Методы отбора. Понятие репрезентативности выборки. Генеральное и выборочное среднее, генеральная и выборочная дисперсия	178
5.2.Оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.	182
Заключение	189
Библиографический список	189
Приложение А	191

Введение

Данный курс лекций включает все основные разделы курса математики, которые входят в программу для студентов, изучающих математику два семестра. Особый акцент делается на теорию вероятностей и статистику, так как вводимые в этих разделах математики понятия используются в последующих прикладных курсах. Приводится большое количество примеров и задач. Курс может быть рекомендован студентам всех форм обучения как электронный конспект лекций.

Линейная алгебра

Матрицы. Правила действия с матрицами

Матрицей А называется прямоугольная таблица чисел. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n (m n). Количество элементов в такой матрице равно произведению m ∙ n. Обозначение матрицы

(1.1)

Числа a_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца.

Матрица называется прямоугольной, если m ≠ n, Если m = n, то матрица называется квадратной и число n - порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки - матрица-строка. У таких матриц элементы могут иметь только один номер.

; (1.2)

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Для квадратной матрицы порядка n элементы с одинаковыми индексами a ₁₁, a ₂₂,..., a_nn образуют главную диагональ. Элементы a ₁ _n, a ₂ _n _-1,..., a_n ₁ образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: a_ij = 0 при i ≠ j. Диагональная матрица обозначается так

. (1.3)

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, единице называется единичной и обозначается I или E

(1.4)

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

, . (1.5)

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем, который обозначается символами detA или D(A).

Для матрицы определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

det(A) = = a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a _21. (1.6)

Для матрицы определитель находится по формуле

(1.7)

det (A) = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂ a₃₁ –

- a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁a₂₃ a₃₂.

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение.

Определитель единичной матрицы равен единице det I = 1.

Минором M_ik называется определитель меньшего порядка (размера), полученный при вычеркивании i -той строки и k -того столбца. Алгебраическим дополнением A_ik называется минор, знак которого определяется по правилу A_ik = (-1) ⁱ ⁺ ^k M_ik.

Определитель можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения, например для матрицы 3×3

(1.8)

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ¹0, и вырожденной (особенной), если det A =0. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

. (1.9)

Действия над матрицами. Равенство матриц. Две матрицы A= (a_ij) _m,n и B= (b_ij) _k,q называются равными, если они одинаковы по размеру (m=k, n=q) и их соответствующие элементы равны (a_ij = b_ij).

Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц A= (a_ij) _m,n и B =(b_ij) _m,n называется матрица C =(c_ij) _m,n того же размера, причем элементы матрицы C равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

C = A+B, если c_ij = a_ij + b_ij. (1.10)

Пример. .

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A= (a_ik) _m,n на число a называется матрица C =(c_ij) _m,n, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A умножением на число a:

C = a A, где c_ij= a × a_ij. (1.11)

Пример.

Произведение матриц. Произведение матриц A _mk ∙B _kn = C_kn определено только в том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица С имеет размер m∙ n. Элементы матрицы С определяются по формуле

(1.12)

Умножение матриц производится по правилу "строка на столбец". Произведение матриц не перестановочно, в общем случае A∙B ≠ B∙A.

Пример. Найти произведения матриц A = и B = .

Поскольку это квадратные матрицы одного размера, то умножение таких матриц возможно, причем существует и АВ и ВА. В соответствии с (1.12) имеем:

Если A, B - квадратные матрицы одного порядка, то det (A ∙ B) = detA ∙ detB.

Транспонирование матриц. Рассмотрим произвольную матрицу

Матрица полученная из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к A.

Например, если A = , то A^t = .