Полный дифференциал функции

Пусть дана функция -переменных:

В этом случае вводится понятие частной производной:

Частной производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции, когда изменяется , к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю

Соответственно частная производная по обозначается .

Если частную производную от функции по умножить на ее дифференциал , то получим частный дифференциал по аргументу :

Частный дифференциал по будет равен:

Полный дифференциал для функции двух переменных определяется по формуле:

Например:

Найти полный дифференциал функции:

Решение:

1.10. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При достаточно малых выполняется условие: .

Учитывая, что , получаем

, откуда

(*)

Например:

1. Вычислить .

, тогда . Применяя формулу (*), получаем:

2. Вычислить .

3. Вычислить .

4. Вычислить .

2.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЛАН:	2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.
	2.2. Свойства неопределённого интеграла.
	2.3. Таблица основных интегралов.
	2.4. Простейшие методы интегрирования: а) непосредственное интегрирование б) метод постановки в) интегрирование по частям

Интегральное исчисление является составной частью математического анализа и применяется при решении многих задач химии, биологии именно в тех случаях, когда по известной производной требуется найти вид самой функции.

2.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

Процесс дифференцирования т.е. нахождение производной или дифференциала функции, с физической точки зрения, сводится к следующему: зная закон движения материальной системы можно определить мгновенное значение скорости в данной точке траектории её движения. геометрической точки зрения, этот процесс состоит в нахождении угла наклона касательной, проведённой к графику функции в данной точке.

Но часто ставится и обратная задача, т. е. необходимо определить закон движения материальной системы, зная её скорость или по угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Для решения этой задачи вводится понятие неопределённого интеграла, а сам процесс решения называется интегрированием.

Другими словами: если процесс дифференцирования состоит в нахождении производной данной функции, топроцесс интегрирования - это нахождение функции по её производной или дифференциалу.

Введём понятие первообразной функции:

Функция , имеющая функцию своей производной или своим дифференциалом, называется первообразной данной функции:

Пример 1. Основная задача механики состоит в нахождении положения, т.е. координат движущегося тела или материальной точки в любой момент времени. Для прямолинейного равноускоренного движения с начальной скоростью зависимость координаты от времени определяется следующей формулой: