Линейное преобразование. Его матрица

Однозначное отображение  линейного пространства V над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть  для любых  и .

Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть  базис V. Вектор x разложим по базису , где - координаты вектора x. По свойству линейного преобразования имеем . Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат  , которое можно записать используя матричное умножение следующим образом . Матрица  называется матрицей линейного преобразования и обозначается . Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора .

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.

Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой , где P – матрица перехода. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что . Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений , где в роли неизвестных выступают элементы матрицы P, с дополнительным нелинейным условием .

Алгебра линейных преобразований.

На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:

1. Умножение на число: .

2. Сложение (вычитание)

3. Умножение .

Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы

1.

2.

3.

Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.

Пусть  - некоторый многочлен,  - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену  линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование  получено подстановкой  в многочлен . Матрица  может быть вычислена по формуле .

Свойство 7.1. Пусть . Тогда .

Инвариантные пространства

Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ  также принадлежит W.

Свойство 7.2.  - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть . Тогда .

Свойство 7.3.  - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть , тогда .

Свойство 7.4. Пусть  - многочлен, тогда  инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть .

Свойство 7.5. Пусть  - многочлен, тогда  инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть  , тогда . Далее, , то есть .

Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть  базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n - k)* k, состоящий из одних нулей.

Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.

Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.