Геометрическая вероятность

Лекция 2

 

Формулы полной вероятности. Формулы Бейеса

 

Определение 8. Совокупность событий  положительной вероятности на  называется полной группой гипотез, если:

1) события  попарно несовместны (см. определение 5);

2) .

Теорема 1 (формула полной вероятности). Если  – полная группа гипотез на , то вероятность любого события  можно вычислить по формуле:

.

(5)

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма, представляющая и самостоятельный интерес.

Лемма 1. Если события  попарно несовместны (в смысле определения 5), то свойство s-аддитивности из определения 4 выполняется, то есть

                                                                                                      

Представим теперь себе ситуацию, что событие A осуществилось. Это обстоятельство позволяет пересмотреть вероятности исходных гипотез , то есть вычислить так называемые апостериорные вероятности гипотез (в отличие от априорных вероятностей, которые получаются до реализации какого-либо события). Речь идет об условных вероятностях .

Теорема 2 (формула Байеса). Для любого  справедлива формула:

.

(6)

Геометрическая вероятность

Рассмотрим теперь более подробно вероятностное пространство , на следующем примере.

Пример 2. Пусть  – квадрат на плоскости , F – s-алгебра борелевских подмножеств этого квадрата (то есть наименьшая s-алгебра, содержащая все прямоугольники, входящие в квадрат), а  для .

Лучше всего с этим пространством связывать эксперимент стрельбы в квадрат W (считается, что в этот квадрат стрелок попадает при любых условиях). Любое подмножество  мы в этом случае интерпретируем как событие, состоящее в том, что стрелок попал в A. Смысл рассматриваемой вероятности P (или, как часто говорят, геометрической вероятности) хорошо согласуется с интуицией: чем больше площадь подмножества A, тем больше вероятность наступления события A.

Используя данное вероятностное пространство, можно достаточно легко получать геометрические обоснования многих фактов, доказанных нами ранее аналитически. Например, свойство 1 вероятности геометрически очевидно: площадь дополнительного к A множества  равна площади квадрата W минус площадь самого множества A. Свойство 2 вероятности также становится прозрачным: так как  это заштрихованная площадь на первом рисунке (см. пункт "Действия над событиями.Алгебра событий"), а в выражение  два раза входит площадь множества , то ее нужно один раз отнять, и в результате получается формула . Точно так же легко интерпретируется свойство 3 вероятности, так как фраза "из события A следует событие B " геометрически означает, что множество A содержится во множестве B.

Проинтерпретируем теперь понятие независимости событий (см. определение 6). Пусть события A и B таковы, какими они показаны на следующем рисунке:

Здесь множество A представляет собой прямоугольник с шириной, равной 1, и высотой, равной a. Множество B представляет собой прямоугольник с шириной b и высотой, равной 1. Множество  – это пересечение прямоугольников A и B и также является прямоугольником. Заметим, что стороны всех прямоугольников параллельны соответствующим сторонам квадрата W. Из геометрических соображений следует, что . Поэтому выполняется условие независимости событий , то есть события A и B независимы. Оказывается, события такой конфигурации, как A и B, дают самые характерные примеры независимых событий. Подобная процедура построения независимых событий может быть существенно обобщена. Эти обобщения сплошь и рядом используются в теории вероятностей.

 

Схема Бернулли

 

Предположим, что мы производим некоторое испытание с двумя исходами (например, бросание монеты, когда исходами являются орел или решка, или вытягивание лотерейного билета, когда в результате испытания билет оказывается выигрышным либо проигрышным). Один исход данного испытания (имеющий вероятность p) будем считать успехом и обозначать единицей. Второй исход (имеющий вероятность ) будем считать неудачей и обозначать нулем. Таким образом, совокупность исходов данного испытания мы отождествили с двуточечным множеством .

Повторим теперь это испытание независимым образом n раз. Результатом этого n -кратного эксперимента будут последовательности вида , где каждое число  () равно нулю либо единице. Например, если  и мы получили последовательность , то это означает, что при первом и четвертом испытаниях нас постигла неудача, а второе и третье испытания были успешными. Ясно, что в качестве пространства элементарных событий следует взять множество W, состоящее из всевозможных цепочек вида , где каждое число  () равно нулю либо единице. В качестве s-алгебры F выберем совокупность всех подмножеств множества W.

Остановимся более подробно на определении вероятности P. Обозначим через  (соответственно ) событие, состоящее в том, что при k -м испытании нас постигает неудача (соотв., при k -м испытании мы имеем успех). Очевидно, . Так как при разных k испытания производятся независимым образом, то математически это должно означать, что любая система событий  должна быть независимой в совокупности в смысле определения 6. То есть вероятность события должна определяться формулой:

.

(7)

Но легко видеть, что событие  совпадает с элементарным событием , поэтому вероятность каждого элементарного события  должна определяться той же формулой:

.

(8)

Таким образом, мы построили конечное вероятностное пространство  (бернуллиевское вероятностное пространство), моделирующее описанный выше n -кратный эксперимент.

Событие  состоит в том, что в n испытаниях в схеме Бернулли наступило ровно m успехов.

Теорема 3. Справедлива формула:

,

(9)

где  – число сочетаний из n элементов по m.