Статически определимые системы

 

Нормальное напряжение, равномерно распределенное по поперечному сечению стержня, определяется по формуле

,                                     (2.1)

где N – осевое внутреннее усилие;

   А – площадь поперечного сечения стержня.

До предела упругости напряжение пропорционально относительной деформации (закон Гука), то есть

.                                       (2.2)

где Е – модуль упругости (характеристика материала);

 – отношение абсолютной продольной деформации к начальной длине стержня.

Закон Гука также может быть представлен в виде

.                                   (2.3)

Произведение EА называется жесткостью стержня. Удлинение бруса под действием собственного веса равно

,                                 (2.4)

где G – сила веса.

Отношение поперечных деформаций к продольным при растяжении (сжатии) называется коэффициентом Пуассона.

.                                  (2.5)

В сечениях, наклонных к продольной оси стержня, нагруженного на концах осевыми усилиями, возникают как нормальные, так и касательные напряжения, пропорциональные модулю упругости второго рода G (модуль сдвига). Модуль упругости Е, модуль сдвига G, коэффициент Пуассона μ являются характеристиками материала. Их значения приводятся в таблице 1.1.

Работа внешних сил, равная энергии деформации рассчитывается по формуле

.                            (2.6)

Потенциальная энергия деформации бруса от собственного веса

.                                   (2.7)

Таблица 1.1

 

Наименование материала	E (Па)	G (Па)	μ
Чугун Углеродистые стали Алюминий катанный Стекло Камень известняк Дерево вдоль волокон Дерево поперек волокон Бетон класса В10…В60 Кирпичная кладка	(1,2–1,6)·1011 (2–2,1)·1011 0,9·1011 0,56·1011 0,42·1011   0,11·1011 (0,5–0,1)·1011   (0,18–0,4)·1011 0,03·1011	0,45·1011 0,81·1011 0,27·1011 0,22·1011 –––   0,006·1011 –––   (0,07–0,16)·1011 –––	0,23…0,27 0,24…0,28 0,32…0,36 0,25 –––   ––– –––     0,2 –––

Задачи

2.1. Определить напряжения во всех участках изображенного на рисунке стального стержня и полную его деформацию, если поперечное сечение равно 10 см ².

Ответ: в левом участке σ=400 кг / см ² (40·10⁶ Па); в среднем – σ =0; в правом – σ =–200 кг / см ² (–20·10⁶ Па).

 

2.2. На рисунке представлен стержень, верхняя часть которого стальная, а нижняя чугунная. Осевая нагрузка F укорачивает весь стержень на 0,2 мм. Определить величину нагрузки F.

Ответ: 21200 кг (212 кН).

 

2.3. Жесткий брус АВ, деформацией которого можно пренебречь, горизонтально подвешен на тягах 1 и 2. Тяга 1 – стальная, круглого сечения, диаметром 20 мм, тяга 2 – медная, тоже круглого сечения, диаметром 25 мм. На каком расстоянии а от узла А нужно поместить груз F, чтобы после деформации тяг брус АВ остался горизонтальным? Чему в этом случае будут равны напряжения в тягах, если F =3000 кг?

Ответ: а =1,08 м,

σ₁=440 кг / см ² (44·10⁶ Па), σ₂=330 кг / см ² (33·10⁶ Па).

 

2.4. Жесткий стержень АВ нагружен силой F и поддерживается стальной тягой С D круглого поперечного сечения диаметром 20 мм. Определить наибольшую допустимую нагрузку F и опускание точки В. Допускаемое напряжение для материала стержня CD равно 1600 кг / см ².

Ответ: F =1200 кг (12 кН), δ_В=4,17 мм (0,00417 м).

2.5. Груз подвешен к стальной проволоке, размеры которой до деформации были следующими: L =3 м и d =1,6 мм. Удлинение проволоки оказалось равным 1,5 мм. Затем тот же груз был подвешен к медной проволоке длиной L ₁=1,8 м и диаметром d ₁=3,2 мм. Ее удлинение получилось равным 0,39 мм. Определить модуль упругости медной проволоки, если модуль стальной – Е =2·10⁶ кг / см ².

Ответ: 1,15·10⁶ кг / см ² (1,15·10¹¹ Па).