Линейные неоднородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

(7.49)

где  и  непрерывные функции, называется линейным неоднородным уравнением первого порядка (линейным, так как и  входят в уравнение в первых степенях, неоднородным, так как правая часть уравнения не равна нулю). При  уравнение (7.49) принимает вид

(7.50)

Последнее называется линейным однородным уравнением первого порядка и представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение

 имеет вид

(7.51)

где  произвольная постоянная.

Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (7.50) и одного частного решения неоднородного уравнения (7.49) , то есть

(7.52)

Для нахождения применяем метод вариации произвольной постоянной. Суть метода состоит в том, что одно частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (7.51), считая неизвестной функцией от  (варьируем постоянную ), то есть

                                                                         (7.53)

Подставляя (7.53) в (7.49), для определения функции получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

                                                                       (7.54)

Решая последнее с учетом того, что произвольная постоянная, появившаяся после интегрирования, равна нулю (нам нужно одно частное решение), получим выражение для . Подставляя найденное выражение для в (7.53)и учитывая (7.52), получим общее решение неоднородного линейного уравнения первого порядка (7.49).

Пример 7.13. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения, пользуясь методом вариации постоянной

 (7.55)

Решение. Решая сначала соответствующее однородное уравнение     

(7.56)

получим

(7.57)

где  произвольная постоянная. Одно частное решение неоднородного уравнения (7.55) ищем методом вариации постоянной в виде

(7.58)

Подставляя (7.58) в (7.55) и учитывая, что 

(7.59)

получим

 (7.60)

или

(7.61)

Тогда согласно (7.58) имеем

 (7.62)

и, следовательно (см. (7.52)), общее решение исходного уравнения имеет вид

  (7.63)

Из общего решения (7.63) выделим частное решение исходного уравнения, имея в виду

начальное условие Коши  Имеем  Таким образом, решение задачи Коши имеет вид

                                                                                    (7.64)

Ответ:

Отметим, что общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка можно найти и методом Бернулли. Суть этого метода состоит в том, что решение уравнения (7.49) ищем в виде

(7.65)  

считая, что функция  является решением соответствующего однородного уравнения

                                                                      (7.66)

Подставим (7.65) в уравнение (7.49). После некоторых преобразований, получим

                                             (7.67)

или с учетом (7.66)

                                                                              (7.68)

Решая уравнение (7.66), определим  Найденное выражение  подставим в (7.68). Интегрируя последнее, найдем функцию Подставляя найденные функции и в (7.65), получим общее решение исходного уравнения (7.49).

Пример 7.14. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

,                                                                             (7.69)

пользуясь методом Бернулли.

Решение. Полагая   и учитывая, что  уравнение (7.69) преобразуем к виду  

(7.70)

Согласно (7.66) имеем

(7.71)

Интегрируя последнее, получим

                                                                                    (7.72)

где  произвольная постоянная. Подставляя (7.72) в (7.70), получим

                                                                                       (7.73)

Отсюда

                                                               (7.74)

где  произвольная постоянная. Таким образом, общее решение уравнения (7.69) имеет вид

                                               (7.75)

где  новая произвольная постоянная.

Ответ:

Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(7.76)

где некоторое действительное число , а и  заданные непрерывные функции, называется уравнением Бернулли (при получаем уравнение с разделяющимися переменными, при получаем линейное неоднородное уравнение). Уравнение Бернулли сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка заменой переменной

(7.77)

Отметим, что новую переменную удобно ввести после деления обеих частей уравнения

 (7.76) на  считая Но как видно из (7.76), является решением уравнения Бернулли. Это решение не потеряется, а получится из общего решения при определенном значении произвольной постоянной.

Пример 7.15. Решить уравнение Бернулли

                                                                             (7.78)

Решение. Разделив обе части уравнения (7.78) на считая , и введя новую переменную

                                                               (7.79)

получим линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно новой переменной  (отметим, что новая переменная есть функция от )

                                                                        (7.80)

Соответствующее однородное уравнение

                                                                             (7.81)

имеет решение

                                                                                                 (7.82)

где произвольная постоянная. Частное решение неоднородного уравнения (7.80) ищем в виде

                                                                                       (7.83)

Подставляя (7.83) в (7.80) с учетом того, что

(7.84)

получим

 (7.85)

Интегрирование последнего приводит к следующему выражению для

                                                                         (7.86)

Тогда согласно (7.83), (7.52) и (7.79), общее решение исходного уравнения (7.78) имеет вид

                                                                         (7.87)

где произвольная постоянная. Отметим, что решение  исходного уравнения получается из общего решения (7.87) при

Ответ:

Пример 7.16. Пусть число особей в популяции в момент времени Тогда если  число особей в популяции, рождающихся в единицу времени,  число особей, умирающих в единицу времени, то скорость изменения будет иметь вид

Если считать процесс изменения популяции нелинейным, что соответствует реальному процессу, то можно предположить, что, например,  где и заданные постоянные.Тогда можно сказать, что процесс изменения популяции описывается следующим дифференциальным уравнением

                                                                           (7.88)

что является уравнением Бернулли. Найдем решение этого уравнения при заданным начальным условием Коши

(7.89)

Решение. Для решенияуравнения Бернулли (7.88) делим обе части уравнения на и вводим новую переменную формулой После этого уравнение (7.88) преобразуется к линейному неоднородному уравнению первого порядка относительно неизвестной функции Решая полученное уравнение (см. пункт 7.1.4) с учетом условия Коши и в ответе переходя к переменной  получим

(7.90)

Как следует из решения (7.90) исходного уравнения На рисунке 7.2 приведена интегральная кривая решения (7.90). Верхняя половина кривой соответствует случаю  нижняя половина кривой соответствует случаю

Ответ: