Доказательство: обозначим через и п-ые частичные суммы рядов и.

. (6.18)

По условию теоремы . Тогда

. (6.19)

Если ряд сходится, то по теореме 6.6 ограничена. Но тогда согласно (6.19) также ограничена. Следовательно, по теореме 6.6 также сходится. А если ряд расходится, то по теореме 6.6 не ограничена, откуда следует, что также не ограничена. Последнее, согласно теореме 6.6 означает, что ряд расходится.

Теорема доказана.

Следствие теоремы 6.7 (признак сравнения в предельной форме).

Если является рядом с положительными членами , а – со строго положительными членами и существует конечный предел

(6.20)

то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 6.8. Второй признак сравнения.

Пусть имеем два ряда и со строго положительными членами . Если для всех номеров к справедливо неравенство

то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 6.9. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами , причем хотя бы начиная с все .

1. Если для всех номеров к, или по крайней мере начиная с некоторого номера между членами ряда выполняется неравенство

, (6.21)

то ряд сходится.

2. Если , начиная хотя бы с некоторого , то ряд расходится.

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы 6.9 положим , где , и заметим, что ряд сходится согласно рассмотренному в пункте 6.2 второму примеру. Тогда

(6.22)

или

. (6.23)

Так как ряд сходится, то по теореме 6.8 ряд также сходится.

Для доказательства второй части этой теоремы положим и заметим, что ряд расходится согласно рассмотренному в пункте 6.2 первому примеру. Тогда

(6.24)

(6.25)

Так как ряд = расходится, то по теореме 6.8 ряд также расходится.

Теорема доказана.

Следствие теоремы 6.9 (признак Даламбера в предельной форме).

Если , то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, а при l =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Теорема 6.10. Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд с положительными членами.

1. Если для всех номеров или, по крайней мере, начиная с некоторого номера выполняется неравенство

, (6.26)

то ряд сходится.

2. Если начиная хотя бы с некоторого , то ряд расходится.

Отметим, что доказательство этого признака проводится аналогично доказательству признака Даламбера.

Следствие теоремы 6.10 (радикальный признак Коши в предельной форме).

Если , то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, а при l =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Теорема 6.11. Признак Раабе.

Пусть дан ряд с положительными членами .

1. Если для всех номеров или, по крайней мере, начиная с некоторого номера справедливо неравенство

, (6.26)

то ряд сходится.

2. Если для всех номеров или начиная хотя бы с некоторого , то ряд расходится.

Следствие теоремы 6.11 (признак Раабе в предельной форме).

Если , то при l >1 ряд сходится, при l <1 ряд расходится, а при l =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Теорема 6.12. Интегральный признак Коши – Маклорена.

Пусть дан ряд с положительными членами . Рассмотрим функцию f (x), удовлетворяющую на полупрямой ( любой фиксированный номер) следующим условиям:

1. f (x) неотрицательна .

2. f (x) не возрастает .

3. значения этой функции при совпадают с членами данного ряда .

Если несобственный интеграл первого рода сходится, то ряд также сходится. Если несобственный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Ниже приведено геометрическое истолкование этой теоремы (см. рис. 6.1). Заметим, что несобственный интеграл выражает площадь криволинейной трапеции.

Исходный ряд можно переписать в виде

где есть площади входящих в криволинейную трапецию прямоугольников. Если площадь криволинейной трапеции конечное число, то есть сходится, то подавно конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры, то есть ряд сходится. Если же площадь криволинейной трапеции бесконечно большая величина, то есть расходится, то площадь ступенчатой фигуры также бесконечно большая величина, то есть ряд расходится.